B»-4AC' P=B»-4AC

L'hypothèse de B' — 4 ^^ = o, qui rend ces valeurs infinies , rentre dans un cas que nous examinerons bientôt. Pour le moment , nous supposerons que B^ — 4 -^^ °^ ^^^ P^ ^"^*

Cela admis, si dans le dernier terme de l'équation (369) délivrée des termes nuls dont nous avons disposé y nous subsli-' tuons les valeurs de a et de ^y et que nous représentions ce dernier terme par y, l'équation deviendra

Aj'» -+- BxV-f-Gr'^+/= o, (371)

et l'origine se transportera en un point O (>%. 169), qui sera p^gig^ tel, qu'en faisant j' = o , dans Téquatîon (37 1), on trouvera pour l'abscisse x'y comptée de ce point , les deux valeurs égales 01 y 01% et de signes contraires,

et qu'en faisant j:' = o , on trouvera pour l'ordonnée r' les deux valeurs égales CL , OL', et de signes contraires,

ce point O, dont nous ferons connaître les propriétés, unique dans la courbe, porte le nom de centre. Les expressions (372) et (373)

seront réelles ou imaginaires , selon que les deux termes de la fraction seront de différents signes ou de mêmes signes (*). ( Note dix-neuQième, )

( * ) Quand A et C sontde différents signes, l'un des axea est réel etPauire imaginaire: par exemple, si/ et C sont négatifs, la valeur y — ^ du

HÇp THEORIE DES GOUhBES DU SECOND ORDRE.

Si Ton ne veut plus considérer que les nouveaux axes II ', Fig.169. LL' [fig. 169) et l'équation qui s'y rapporte, on pourra supprimer les accents , et l'on aura

Ajr'-h Rrr+ C^* -h/=o, . . (374), équation générale des courbes à centre,

466. Examinons maintenant quelle est l'influence du coefficient B sur la courbe.

Nous avons vu que la partie rationnelle de la valeur de y donnait lieu à l'équation de la droite

Bj: D

qui fait avec l'axe des x un angle dont la tangente trigono-

métrique est -y tangente qui appartient à un angle obtus

si B et A sont de mêmes signes , et à un angle aigu s'ils sont de signes différents. Cette droite coupera l'axe des ordonnées ou son prolongement à unç distance exprimée par

—, selon que cette expression sera positive ou négative ;

ce qui exige que D et A soient de signes différents dans le premier cas , ou de mêmes signes dans le second. Le diamètre devient parallèle à l'axe des x quand la tangente trigonomé-

trique devient nulle, et enfin, se confond avec l'axe

2 xX

des X , quand on a à la fois

demi-axe des x' est imaginaire; mais G étant négatif, il. faut que. A soit positif, puisque, par hypothèse , A et C sont de différents signes. On prouverait de même que si A et C sont de mêmes signes , les deux axes sont réels ; et ,J comme ce qui distingue Tellipse de Thyperbole est que Tellipse a ses deux axes réels , tandis que Phyperbole n^en a qu^un ; il suit de là que la courbe appartient à Tellipse quand A et C sont de mêmes signes, et à Thyperbole quand ces signes sont différents.