CHAPITRE XXIX

De la division des courbes du second ordre en

genres.

478. On a vu, dans le chapitre précédent, que l'équation générale des courbes du second ordre peut appartenir au cercle , à l'ellipse , à l'hyperbole ou à la parabole , suivant les valeurs qu'on donne aux constantes de cette équation ou aux signes qui les affectent. Mais, sans recourir aux transformations dont nous avons fait usage , ne pourrait-on pas trouver un moyen

3o6 THEORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

de déterminer immédiatement , par une équation de condition , i\ quelle sorte de courbe du second ordre appartient une équation de ce genre qui nous est donnée? G*est ce qui va faire la matière de ce chapitre. Dans ce but , en résolvant l'équation

Ar^' -h Rrj H- Cx» + Dr 4- Ej? -h F = o, . . (386) par rapport à ^, on trouve

__ (Bx-j-D) . V^(B^— 4 AC) x^+ a (BD — 2 AE)x -h D»-~ 4ÂF.

et y en la résolvant par rapport à x, on trouve

Pou r simplifier, représentons le polynôme

(B» — 4 AC) jr» 4- 2(BD — 2 AE) :f-|- D' — 4 AF,

qui est sous le radical de la valeur de ^, par

Pa:' -hQjc + R.

479. Nous avons fait entrevoir (art. 473) qu'en augmentant convenablement la valeur de a: , le premier terme de ce polynôme pouvait devenir supérieur à la somme des autres. Cette proposition étant fondamentale , on a cherché à la démontrer d'une manière rigoureuse , et Ton a trouvé que le plus grand

des quotients p et -, que nous représenterons par S, étant

ajouté à l'unité, forme un nombre qui, mis à la place de or, rend Px' plus grand que Qa?-}-R; et que la même propriété appartient à tout nombre (*) plus grand que S -4- i.

{*) Voici de quelle manière je le démontre : je mets le polynôme Vx* -f- Qar -t- R sous la forme

et je Tois que pour obtenir une valeur de x qui^ fasse devenir Px' supc-

DIVISION DIS COURBES DU SECOND ORDRE EN GENRES. 3o^

Représentons par V ce nombre S+ i qui, mis à la place deXf rend le ]yren}îer terme (B' — 4"^^) ^^ P^^^ grand que la somme des autres : le coefficient B' — 4^^ ' ^^^ ^^^^ avons représenté par P, pouvant être négatif ou positif , nous allons d'abord examiner ces deu^ hypothèses.

480. Supposons, en premier lieu, que B^ — 4-^^ ^^î^ u° nombre négatif: en faisant a; = V, le premier terme

rienr à Qx + R, il suffit d'en déterminer une qui rende x* pins grand que ^ar -H =j; car si x* surpasse ¥x-4- p, en multipliant par P, on aura

P** > Qar -h R.

O R Cela posé , il est certain que si les termes -p ^ > n sont de mêmes signes, et que x* surpasse leur somme, à plus forte raison x* surpassera la différence de ces termes : ainsi nous ne considérerons que le cas où ,

^ X et -^ sont de mêmes signes. Soit S le plus grand des coefficients