OR OR

^ et p, la fonction Sx-t- S étant plus grande que p a? -i- p, si x* surpasse cette première fonction , il surpassera encore plus la seconde : ainsi tout se réduit à trouver une valeur de x qui rende x' supérieur à Sx+ S. Supposons que S + n soit cette valeur j en la substituant dans les expressions x' et S x -i- S , nous aurons

(S -f- n)» > S* -f-Sn -h S, ou , en développant le carré et réduisant ,

aSrt H- n* > Sn -h S; •

et par conséquent

Sn -t- n* > S ou (S -t- ii)n > S.

« Or, il est évident que pour toute valeur entière de n depuis Tunité

jusqu^à Vinûni , on satisfait à cette inégalité : donc si Ton substitue à x l'une des expressions -V = S -H i, V = S-f-2, V=Sh-3, etc., x* deviendra supérieur à Sx + S , et par conséquent à

îl en est de même si les coefficients sont égaux.

H It «

3o8 TBiO&IE DXS COURBES DU SECOHD ORDUS.

^B' — 4^^) ^^ surpassera la somme de tous les autres ; et, puisque notre li3rpothèse le rend négatif, la partie r^di^le de l'équation (387) deviendra imaginaire. lien sera de même, si ron*substitue à X la valeur — V, parce que le carré de — V, qui entre dans le premier terme , est encore positif; ce qui fait que le facteur B^ — 4 AG détermine le signe. Ainsi Ton peut être assuré que les abscisses comprises depuis V jusqu'à l'infini, et depuis — V jusqu'à rinfîni négatif, correspondent toujours à des ordonnées imaginaires , et qu'en prenant , de chaque côté de l'origine , Fig. 17 1 . deux lignes 01 et 01' {fig* 171) égales à V, la courbe considérée dans le sens des abscisses ne s^étendra pas bors de l'intervalle n'.

#81. Regardant ensuite x comme l'ordonnée et y comme 'l'abscisse, et portant l'abscisse jr sur l'axe des y y et l'ordonnée parallèlement à celui des .r, on verra {fig- 171) que tout point M de la courbe est aussi bien déterminé par les coordonnées OP = a: et PM =zy que par les coordonnées OP' = y etP'M = J?.

482. Voici donc une seconde manière de construire la même courbe , k l'aide de Téquation ( 388) , qui , dans le premier terme de la fonction de/ renfermée sous le radical , a encore pour coefficient B' — 4AC.

Et comme (art. 480) nous avons établi l'hypothèse que B' — 4AC était négatif, en appliquant ici les raisonnements que nous avons faits dans cet article , on pourra donc prouver qu'il existe, sur la direction de l'axe OY, deux limites L et L' an delà desquelles les/ correspondront toujours à des x imaginaires : donc la courbe ne pourra s'étendre , dans le sens des/, hors de LL', et sera entièrement comprise dans le rectangle RR'S'S. Telles sont les courbes du second ordre du premier genre, dans lesquelles on reconnaît l'ellipse ("^j.

(«) Dans Pellipse nous comprenons le cercle , qui n^est qu^un cas particulier de cette courbe.

DIVISION HSfS COURBES DU SECOND ORDUE ElT GENRES. SOQ

483. Supposons maintenant B' — 4^^ positif, et désignons toujours par Y le nombre qui ^ étant substitué à ^, a la propriété de rendre le premier terme (B' — 4 ^^ ) -^^ ^'^ radical de l'équation (387) plus grand que la somme de tous les autres. En substituant à â? le nombre Y ou le nombre — Y, on obtiendra pour x^ le même nombre positif Y ^ : donc le produit de Y' par B* — 4AC sera du même signe que cette quantité B* — 4^^^' qui f dans notre hypothèse , est positive ; et comme le premier terme (B^--* 4 ^^ ) ^ ^ ^^^^ surpasser la somme des autres termes, qui sont sous le radical, on obtiendra un résultat positif; par conséquent la valeur dey sera réelle , et tout nombre au-dessus de V, pris positivement ou négativement , aura la même propriété de rendre réelle l'expression radicale : donc, en prenant {ftgi 172) une abscisse 01 = Y, on sera certain que toute ab- Fig.172, sdsseplus grande correspondra à une ordonnée réelle, et <^u'en prenant une abscisse 0F= — Y, toute abscisse négative plus grande correspondra aussi à une ordonnée réelle ; de sorte que , menant par les points I et V deux parallèles indéfinies RR', SS^, qui coupent Taxe des abscisses à angles droits , en pourra affirmer que tout point de l'axe des abscisses qui. n'est pas situé dans l'intervalle II' peut toujours être le pied d'une ordonnée de la courbe, et que par conséquent la caurbe se prolonge in* définiment hors de l'espace compris entre ces parallèles (*).

Et comme, pour chaque valeur de or, l'équation de la courbe détermine toujours deux valeurs pour l'ordonnée , on peut

(*) Comme il ne nous a pas été nécessaire, dans la démonstration de la note de Part. -479, d^examiner si quelques-uns des nombres inférieurs à Y ne pouvaient pas aussi rendre le terme Px' plus grand que la somme des autres termes , on sent quUl est possible qu^il existe dans Pinterralle II' des abscisses, tellea que Or, pour lesquelles les ordonnées correspondantes seraient encore réélis j mais nous ne considérons pas encore ces points : il nous suffit de pouvoir affirmer que hors des limites 01 et 01', les abscisses correspondent toujours à des ordonnées réelles.

3lO THÉORIE DES GOUEBES DU SECOND «EDRE.

conclure que les valeurs positives de x donneront naissance aux deux branches KM , K'M',^ qui s'étendront jusqu'à Finfini , en ^'éloignant de l'origine;

Et que les valeurs négatives de x donneront naissance à deux branches LN, L'N', qui s'étendront jusqu'à l'infini n.é^ gatif, en s'éloignant de Torigine.

Enfin les ordonnées ne pourront être imaginaires que dans l'intervalle compris entre les parallèles indéfinies RR'^ SS^ où les ordonnées correspondent à des abscisses positives ou n^atives moindres que V.

Cette propriété qu'offre la courbe de se prolonger indéfiniment dans deux sens opposés , en se partageant en deux branchies dans chacun de ces sens, suffit pour caractériser ce second genre de courbes , que l'on comprend sous le nom àH hyperboles.

Si Ton voulait compter les abscisses sur l'ax^ AY, comme nous l'avons fait (art. 489), on reconnaîtrait de même, a» moyen de l'équation (SSS), que , de chaque côté de Taxe AY, il existe deux des quatre branches IM , l' M', et LN et L' N' qui s'étendent jusqu'à l'infini.

484. Lorsque le coefficient B* — ^kC est nul, l'équa.tion (887) se réduit à

(Bx-f-D) v^2(BD — 2AE)x-hD^ — 4AF

Soit V la valeur de x qui a la propriété de rendre 1« terme 2(BD^2AE)x plus grand que D^ — ^kF i si 2 (BD — 2AE) est positif, V, ou toute valeur au-dessus, rendra positive l'expression qui est sous le radical ; par con- Fig.£73. séquent, si l'on prend pour abscisse OI = V (^^. 173), il sera prouvé que depuis O jusqu'à l'infini, en allant à la droite, tout point pris sur Taxe' des abscisses devra toujours correspondre à deux ordonnées réelles déterminées par la double valeur de j^. La courbe se partagera donc en deux branches, KM , K'M',,