DIVISION DES COURBES DU SECOND ORDRE EN GENRES. 3 II

qui se prolongeront chacune jusqu'à l'infini , dans le sens des abscisses positives.

Si Ton prend ensuite sur le prolongement de Vaxe des abscisses la partie 01' = — V, toutes les abscisses comprises depuis or, en allant à gauche , jusqu'à Pinfini négatif, rendant négative l'expression qui est sous le radical , correspondront à des ordonnées imaginaires : donc, en menant par le point V la droite indéfinie SS', qui coupe à angle droit le prolongement de l'axe des abscisses , la courbe devra être entièrement comprise d'un côté de cette droite.

Si 2(BD — a AE) est négatif, et qu'on donne à^ des valeurs négatives comprises (y%. 1 74) depuis 01' = — V jusqu'à l'infini Fig. 174. négatif, en allant à gauche, les valeurs de y seront réelles, parce que, dans ce cas, le premier terme 2(BD — 2AE)^, composé de deux facteurs négatifs , deviendra positif, et rendra tel le résultat des termes qui sont sous le radical ; mais , en donnant à x des valeurs positives comprises depuis 01 jusqu'à l'infini , en allant à droite , la partie radicale deviendra imaginaire : il est donc démontré que la courbe ne peut avoir des abscisses positives plus grandes que 01 ; par conséquent , si au point I on mène , perpendiculairement à l'axe des abscisses, une droite indéfinie SS', la courbe sera entièrement comprise d'un côté de cette droite.

Toute la différence qui existe donc entre l'hypothèse de 2 ( BD — 2 AE ) positif et de 2 ( BD — 2 AE ) négatif, est que la.. courbe se trouve située à droite ou à gauche de l'origine, sur l'axe des abscisses ou sur son prolongement.

Ainsi, lorsque le coefficient B^ — 4-^^=^> la courbe, qui étend ses deux branches jusqu'à l'infini, peut être entièrement comprise d'un même côté d'une droite indéfinie.

La courbe du second ordre, qui appartient à ce troisième genre , est donc la parabole , puisque c'est la seule des trois courbes du second ordre qui s'étend à l'infini dans un seul sens.

485. Enfin, si le coefficient de x du radical est aussi nul ,

3l2 THiORIE DES COUABES DU SECOND ORDRE.

réqiiation (887 ), se réduisant à

(Rr-hD) . VD^»— 4AF

ne renferme x ^l y qu'au premier degré , et appartient à 1» ligne droite , comme nous allons le voir d'une manière plus spéciale dans le chapitre suivant.

486. Il résulte de cette analyse, que Ton peut diviser les courbes du second ordre en trois genres, que Von reconnaîtra

aux caractères suivants :

Premier g'tf/ïr^ (ellipse). . . . B^ — 4-^^ • • ^^S^^ff Deuxième g^e/ï Aie (hyperbole).. B*— 4^^ • * positif ^ Troisième gr^/^re (parabole), . B' — 4^^ • • ^"^*