Tout ce que nous venons de dire se résume de la sorte

Pour l'arc o , sin a = o , cos « =: r.

Pour l'arc moindre que le quart de la circonférence , à mesure que cet arc s'accroît et à partir de zéro , le sinus s'accroît aussi et le cosinus diminue , restant l'un et l'autre positifs.

Pour l'arc d'un quart de la circonférence

• sin a :^ r , cos a == o.

Pour l'arc compris entre le quart et la moitié de la circonférence, à mesure que l'arc s'accroît, le sinus décroît et reste positif, tandis que le cosinus augmente et reste négatif.

GO&RESPUNDANGE DES UGNKS TRIG. AVEC LES A&GS. l3

Pour l'arc qui comprend la moitié de la ciroonférence ,

sin fl = o , cos a = — r,

29. Il semblerait que Pangle devenant nul lorsquHl a atteint i8o degrés ^ on ne devrait plus admettre d'arc au delà de cette limite ; mais cette considération n'entre point dans Pesprit de l'analyse, qui, tendant-à généraliser, considère des arcs plus grands que i8o degrés. Dans ce cas, lorsque l'arc continue à croître, et tant qu'il n'a pas atteint les trois quarts de la circonférence , le sinus dont l'extrémité tombe sur ToD des points de l'arc est négatif aussi bien que le cosinus ; mais depuis les trois quarts de la circonférence jusqu'à une révolation entière du rayon , le sinus restant négatif, le cosinus redevient positif et va tODJoors en croissant, et finit par devenir égal à l'unité, et alors le sinos est nul.

50. On ne s'arrête pas là : l'are peut croîtra indéfiniment en faisant divers circuits; mais arrivé à 36o degrés, toutes les circonstances qui ontea lieu jusque-là se reproduisent, de sorte que le même sinus peut appartenir à un nombre infini d'arcs qui diftéreront entre eux d'une fois , deux fois, trois fois, etc. , la circonférence. [iVo/e première (*). ]

SI. OccupoDs-nous maintenant de la tangente. On voit d'abord qu'elle s'accroît plus rapidement que le sinus , car lorsque l'angle TOB {fig. i3) vaut la moitié d'un angle droit, Fig. i3. l'angle 0TB en est l'autre moitié ; par conséquent, le triangle devient isocèle, et l^tangente, dans ce cas , est égale au rayon. Lorsque l'angle s'ouvre davantage , la tangente s'accroît de plus en plus jusqu'à ce que l'arc atteigne 90 degrés.

D'ailleurs, puisque dans ce cas le sinus augmente et le cosinus diminue (art. 27 ) , l'équation ( 2 ) , d'où Ton tire

langa=r , nous montre que les deux termes de la frac-

cos a

tion contribuent simultanément à l'accroissement de sa valeur.

Enfin quand l'angle comprend le quart de la circonférence,

la sécante, prenant la direction de OD {fig* ï4Jj devient Fig. 14.

parallèle à la tangente , qui , par conséquent , est infini^.

{*) ycuret les Notes à la fin du volume.

^4 TBIGONOMÉTRIË.

52. L*angle devient obtus {fi^. i4) lorsque l'arc surpasser go degrés. Dans ce cas la tangente BT' ne peut atteindre la direction de la sécante qu'en un point T' sur le prolongement de cette sécante; ce qui montre que la tangente est alors néga-

tive. C'est d'ailleurs ce qu'indique la formule tanga = r ,

^ * ^ cos a

dans laquelle sin a restant positif, cos a devient négatif, ce

qui est cause que tang a est une quantité négative.

Il est bon de remarquer que , dans ce cas , la tangente est égale à celle du supplément de l'angle obtus MOB ; car l'angle MOG , supplément de l'angle obtus MOB , est égal à sort opposé au sommet BOT'.

La tangente négativp diminue continuellement à mesure que l'arc s'approche de la demi-circonférence ; de sorte que quand l'arc devient égal à la demi-- circonférence, la tangente est nulle.

C'est d'ailleurs ce qui résulte de la formule (2) (art. 18) ;. car, dans ce cas , le sinus étant égal à zéro et le cosinus à -— r,. on a (Note deuxième)

tang a = =r o.