CHAPITRE XXX

Des cas particuliers où V équation générale des courbes du second ordre ne peut construire Vune des trois courbes.

487. Lorsque Téquation générale du second ordre ne se rapporte pas à Tune des trois courbes que nous avons examinées , elle ne construit que des lignes d'un degré inférieur au second, ou des points, eu n'a aucune signification. £xamî-r nous d'abord le premier cas.

Lorsque B^ — 4^0 = o et que BD — 2 AE = o, noua venons de voir (art. 48ô) que l'équation (887) (art. 488) se réduisait à

Pour une valeur a de x , ^ a deux valeurs , que je représenterai par p et par 6 ; pour une autre valeur a ' de j? , Féqua-

CAS OU LA COURBE N*EXISTE PAS. 3l3

tion donnera encore deux valeurs p' et 6' de l'ordonnée correspondante à a' ; ainsi de suite.

Les ordonnées p^ p\ p^\ etc. , construiront la ligne droite ; donc l'équation est

de même les ordonnées 6 , 6', €'% etc. ^ construiront une autre ligne qui sera le lieu de Téquation

(Bx+D) v^3^ ;

Comme le coefficient de x, dans ces deux équations est le même, les deux droites formeront des angles égaux avec Taxe des abscisses , et par conséquent seront parallèles.

488. Si D' — 4 -^ ^^ aussi nul , l'équation (SSg) se réduit à

l Bx p

et le système des deux parallèles données par les équations (38^)

et (391) se réduit à une seule droite.

489. Enfin , y D^^ — 4 ^ P^^t ^^^ imaginaire ; alors les valeurs de y données par les équations (390) et (391) regtent imaginaires dans tous les cas, et il n'est plus possible que Héquation puisse construire un système de points.

490. £x)rsque B^ — 4AG n'est pas nul, l'équation g^érale peut aussi se rapporter à des lignes droites ; pour le déihon^r, mettons Téquation (387) (art. 487) , sous la forme

•^- ir^ 2 A V ^ B»-4AC ^'^B'-4AC

Si la partie qui est sous le radical est un carré , on a

/BD — aAE Y __ D' — 4AF \B^ — 4AC/ "~ B' — 4AC'

3l4 TH^O&IB DES COURBES DU SECOND ORDRE.

d'où l'on ûre

^ (BD — 2AEy = (B» — 4AC) (D^ — 4AF);. . (892)

lorsque cette équation est satisfaite , la valeur de y se réduit à e6, en ordonnant par rapport ka^ k

491 . Lorsque l'équation (3g2) est satisfaite, et que B^ — 4 -^^ est positif, le radical est réel ; alors il est facile de prouver, comme dans l'art. 487 , que l'équation (394) appartient au système de deux droites qui ne sont pas parallèles , puisque la valeur du coefficient de x donnée , en prenant le signe supérieur du radical, est différente de celle qu'on obtient en prenant le signe inférieur.

492. Lorsque B' — 4-^^ ^^ négatif, cas où la courbe est «une ellipse (art. 486), et que l'équation (892) est satisfaite,

l'équation (894) contenant un terme imaginaire ne peut donner une valeur réelle pour*/ que lorsqu'on fait