CHAPITRE XXXI
Des points donnés sur un plan par lesquels on peut faire passer une courbe du second ordre.
497. Proposons-nous de faire passer une courbe du second ordre par des points donnés sur un plan. Pour cela, remarquons d'abord que Féquation générale de cette courbe étant de cette forme
ay^ -t- bxy -^ ex -\- dx + ex -\-f=z o ,
contient six coefficients; on peut la réduire à cinq en divisant toiis les termes par Tun de ces coefficients; admettons, par exemple, que ce soit par le dernier, nous pourrons i6uppo$er
-A, ^=B, j=C, j^Ji, ^=E,
et notre équation prendra la forme
A/^ 4- ^xy 4- Gr* + Dr + Eo: -h I = o. . . (SgS)
Cela posé, puisque, par hypothèse, les points donnés doivent être situés sur la courbe, si ces points sont au nombre de cinq, on sent que leurs coordonnées, mises successivement à la place de 07 et de ^ dans réquation(398) , suffiront pour éliminer les coefficients A, B, C, D, £, de sorte qu'il ne restera dans Téquation de la courbe qu'une fonction de ces coordonnées, c'est-à-dire qu'une fonction de quantités connues.
49d. Soient maintenant //i , ;? , /?, ^, r les points donnés ; unissons quatre de ces points deux à deux , par des droites MN , PQ, qui seront des cordes; puisque, par hypothèse , les points sont sur la courbe , il pourra arriver deux cas où ces droites Fig. 175. seront parallèles, comme dans IsL^g. 175; ou elles ne le seront pas : dans ce second cas , en les prolongeant , s'il le faut , elles se rencontreront en un point S ( ^g. 176, 177 et 178).
POINTS DOimÉS FAB LESQUELS LA COUEBK PEUT PASSEE. Sig
Prenons S pour ori^ne et dirigeons les axes des coordonnées soivantles droites SP, SM(^g, 176, 177 et 178); les ordonnées étant parallèles à SM , seront obliques dans les ^g, 1 76 et 177, et rectangulaires dans la^g'. 178, et si nous désignons par p' et p'^ les o];doQnées des points M et N , comme ces points , par hypothèse, étant pris sur la couiiie , sont situés sur l'axe même des ordonnées , ils auront SM et SN pour ordonnées , et leurs abscisses seront^ nulles , ces abscis^s étant mesurées par la distance des pieds des ordonnées SM, SN am point S ; d'où il suit que nous aurons , «
Pour les coordonnées du point M , P% o;
on trouvera de même qu'on a, * •
Pour les coordonnées de N , P"> o: *
D'une autre part ,
pour le point P, Tord, étant nulle, on a, coord .'de P, a', o ; pour le point Q, Tord, étant nulle, on a, coord. de Q, a", o .
Quant aux coordonnées SG et GR du point R, nommonsles %c et ^ , et substituons-les dans l'équation (898),* ainsi que celles des autres points qu'on vient de déterminer ; nous trouverons
Ap'» 4- Dp' -H 1 = o, (399)
Ap"' -+- Dp" + i' = o, (4oo)
Ca'^ -1- Ea' -h I ru o, (4oi)
Ca"' -+- Ea" -H I = O, (4o2)
AP' H- Bap 4- Ca» -H Dp -h Ea 4- I = o. ... (4o3)
499. Pour éliminer D entre les deux équations (Sgg) et (4oo), nous multiplierons la première par p", et la seconde par p'; et retranchant les résultats l'un de l'autre , nous obtiendrons
OU , à cause que p' ^" est facteur commun du preniier membre, BOUS trouverons
d'oà nous tirerons
Cette valeur de A étant mise dans le premier terme de Téquation (399) , nous aurons
^4.Dp'+i = o;
en^di visant par p', on obtiendra
et, en réduisant au même dénominateur,
En opérant de même sûr les équations (4oi) jet (402), on trouvera
^ — ^7^7' ** — ZTZir' ; . . . . (40^)
substituant dans Féquation (4o3) les valeurs A, de D, de C et de £, données par les équations (404)9 (4oS) et (4o6}, nous trouverons
I jP[p-(r+r)] , ara-(a'+«")] , )
^-~^ j ff' ^ V7' "^'J-
Introduisant les valeurs de A , de B , de C , de D et de £ dans réquation (SgS), on trouvera celle de la courbe cherchée, que
