POINTS DONNÉS PAR LESQUELS LA COURBE PEUT PASSER

nous pourrons représenter par

SQO. Si les coordonnées de Téquation ( 407 ) sont obliques , comme cela doit arriver le plus souvent , et par conséquent se rapportent aux courbes construites sur les axes SN, SQ {J^§' 176 et 177) , on passera d'un système oblique d'axes à p. j„g im système d'axes rectangulaires, au moyen des formules (289), et 177. et l'on reconnaîtra facilement la nature de la courbe,, en examinant si les coefficients des termes en x% en y^et en xy satisfont aux conditions prescrites art. 486.

SOI. Examinons maintenant le cas où les deux droites MN , PQ seraient parallèles (fig* 1 75) ; plaçons l'origine et l'axe des p. ^^5 abscisses sur la direction de PQ, l'équation de la droite MN étant X = constante , si nous représentons cette constante par ô , et les abscisses des points M et N par a' et a",

les coordonnées du point M seront x •=. ol' et y •=: h\ celles du point N seront x = a" et y =r ff.

Substituant successivement ces coordonnées dans l'équation (398) , nous aurons . ,

Pour le point M , Aè2+ B^a '-h Ca '*+ D^ H- Ea '4- 1 = o ; Pour le point N, A^^4- Bèa''-|- Ca^^-hD^ 4- Ea"+i= o.

Ces équations du second degré étant composées de la même / manière, Tune en a' et l'autre en a", donneront des valeurs identiques de a' et de a", de sorte que les points a' et a" exprimant la même condition , les données du problème seront réduites à quatre.

ôOÔ. Quelquefois, au lieu d'assujettir la courbe du second ordre à passer par cinq points, on peut diminuer le nombre de ces points en l'assujettissant à remplir quelque condition. Par exemple , lorsqu'on veut que la courbe soit à centre , cette

condition en remplace deux des cinq qui sont données. En effet, en prenant le centre pour origine, l'équation de la courbe , dans ce cas , se réduit à

Aj^ -hBxf •+• Gr'-4- i =o,

et ne renfermant que trois coefficients, peut être satisfaite lorsqu'au lieu de cinq points on en donne seulement trois.

i(05. flnfin , si la courbe doit être une parabole , la condition B' — 4^^ = ^ fournissant une équation , il n'en faut plus que quatre pour déterminer les coefficients deTéquation (SgS) ; d'où il suit que quatre points suffisent pour déterminer la parabole.

SO^ . Si , outre le centre , on donne l'angle des diamètres , on pourra faire passer une ellipse par deux points donnés par leurs cooordonnées ; car soient a', p' et a", p" ces coordonnées; en les substituant dans l'équation fl)^'*-4- fty^ = «"ft'* de l'ellipse rapportée à ses diamètres (art. 3567) (page 217), on aura

équations qui feront connaître les valeurs des demi-<iiamètres a\ b^ 'y demi-diamètres qui deviendront le demi-grand axe et le demi-petit axe , lorsque l'angle donné sera droit. Ce que nous disons de Tellipse peut s'appliquer à l'hyperbole.