B' — 4AC

et supprimant les accents , nous aurons

Ajr^-4-Barx + Gr'-hL = o (4i3)

Les valeurs de a et de p devenant infinies lorsque B'-4AC=o, cette transformation n'est possible que dans le cas des courbes

à centre. Rapportons la courbe à ses axes principaux, au moyen des formules (284 ) 9 nous trouverons

-h Bsin/?cos/?

-h Ccos^/?

j/'-|-2 A sin/7 cosp ^ — B sin^ p -4- B cos' p — 2Gsin/7cos/7

a/y -h A cos^p^ ~^iXT^r"-HL=o....(4.4)

Le coefficient de a:'jr^ égalé à zéro , donne l'équation de condition

2Asin/7cos/' — Bsin*/>-hBcos'/i — 2Csin/?cos/? = a, ou 2 sinp cosp (A — C) + B (cos* p — sin^p) = o. . . {^iS)

Or, d'après les équations (28) (page 17), on a

2 sinjo cosp = sin 2/? , cos ^ /? — sin ^ /? = cos 2// ; mettant ces valeurs dans l'équation (4i5) , on obtiendra

sin 2/7 (A — G ) -t- B cos 2/? = o ;

d'où l'on tirera

sin 2/7 B

y au tang 2/? = —

cos 2/?

Or, d'après la première des équations (6) , les équations (3) , et la combinaison des équations (2) et (3), la trigonométrie nous donne

/ ; I tang

sec = yi-}- tang% cos=:-r-, sin = — r^.

sec

ad/

Par la substitution de la valeur de tang 2 p dans ces formules , on trouvera facilement ,

sec 2/7

cos 2^ = ■ , Sin 2 />:

FORMULES POUR CONSTRUIRE L^ ELLIPSE ET l' HYPERBOLE. S^Q

' D'une autre part, la formule (3i) (page i8), élevée au carré 9 et dans laquelle on fera a = 2/7 et r = i^ nous donne

sin^/? = | — ~cos2/? (*), .(4ï7)

et si dans cette équation nous mettons la valeur de cos 2p tirée de la première des équations (4i6) , nous obtiendrons

sin^p=\^\ ^ ^"^ .... (4i8)

£n éliminant sin^p entre cette équation et Téquation (i)

(art. 18) , qui, en changeant aen\p et en remplaçant r par

Tunité, nous donne

cos'/? =r I — sin*/?, on trouvera

cos ^ /?=== I -f- I-— ======= (419)

Si, dans le coefficient de a/^ de Féquation (4 14)9 ^^ substitua la valeur de sin/? cos/? =:Ysin2/7, tirée delà première des équations (^iS)f et ensuite celles de sin^p et de cos-/?, données par les équations (4i8) > (4^9)9 ^^ coefficient se réduit à

ou à |(A-hC) — iV{A — C)»+B^ •

Par le même procédé on réduira le coefficient dey^ à

»14. Enfin, si dans l'équation (4i4)j dont le terme en a/ y / a été réduit à zéro, on remplace les coefficients de a/' et de ;r"

(*) 11 suffit de substituer dans réquation cos 2a = cos' « — sin -a la valeur de cos' a = 1— sin' a pour obtenir sin' n = { — ^ cos 2 a.

33o TUÉOBIE DES COUEBES DU SECOND ORDRE.

par les valeurs que nous venons de leur trouver, on aura

[l(A 4- C) - 1 v^(A-C)^-|-B^] a/^ + [|(AM-C)-*-|v^(A — C)»H-B^]/^ + L=o.

Telle sera Téquation de la courbe rapportée aux axes principaux.

515. Pour avoir les longueurs de ces axes, nous ferons successivement 'j' =: o, a/ = o, et appelant a' et h' ce que deviennent ad et y' dans cette circonstance , nous aurons

A + C4-\/(A— C')-hB'

Ces expressions sont celles des carrés des demi-axés principaux.