FORMULES POUR CONSTRUIRE LA PARABOLE

surpasser trois angles droits; ne voulant pas considérer des angles plus grands que deux droits, ^attendu qu'un angle qui n'excède pas deux angles droits peut aussi bien déterminer la direction du nouvel axe qu'un angle au-dessus y nous adopterons donc le premier cas.

Et comme la sécante d'un angle qui appartient à un angle obtus est négative ^ nous aurons

séc/> = — V^H-tangV=-- V '"^Â""" V"

cos p = —, =

I si'k

séc/7 \/a + C

et sm/> = tang/> x cos » = , ^ .

Substituant ces valeurs de sin p et de cos p dans Téqualion( 4^2), qui a perdu les termes en a?" et en x'^', cette équation deviendra

[--(A+C)T D^-EyÂ^(D,^V^)

| vÂ+c J n/a+c v'A-hC

ou parce <lue le coefiGcient de y'^ étant élevé au carré, donne

on aura

VTTc

(d\/X-hev/c) , -, \/a + c

Représentons cette équation par

M/' + Na: + P x + F = o.

338 TBiORIE DES COUEBES DU SECOND OEDEË.

et , pour diminuer le nombre de ses termes y supposous^ substituant ces valeurs , nous obtiendrons

pp ' --W^^'

Faisant 2Mp-+-P = o et Mp'-f-Na-f.P6 4-F=r o, on tire de ces équations

et Véquation (4^^) se réduit à

Mj'» + No/ = o.

Substituant dans ces trois formules les valeurs de ]V3 , de N et de P, qui sont les coefficients de j'% de x' et de y de l'équation (424) 9 on trouve

°'~4(A-f-C)v^Â^(Dv/C— Ev^Â) Dv/C— Ev^'" ^

Dv/Â + Ev^ „ ,

ou plutôt

Di/C— Ei^ , „ «,

^/2 ^ > — > x' =zo . . . (428)

(A -h C) v/A H- C Il faut joindre à ces formules Téquation (4^3).

PORMUlES POUK CONSTRUIRE LA PARABOlE. 3 89

325. Si 9 dans l'équation proposée, B était négatif, ces formules ne conviendraient pas ; mais en faisant les calculs précédents, dans l'hypothèse de B* négatif, on trouverait

(d v/Â — E v^)' ' F v/aTc

4(A+C) VA-hC(DV^-4-Ev^A) D \/C-hE v/a'" *

(AH-Ov/ÂT^G ' - ^^ ^

=vA^

tang/? = \/^... (432)

^ M4. Prenons pour exemple l'équation

y^ — 2 or/ -t- j:* — 3^ = o ,

qui satisfait à la condition B^ =-4^G9 sans que BD — 2AE soit nul , et par conséquent est celle d'une parabole. J'examine d'abord le signe du terme en xy^ et comme il est négatif, cette parabole se construira pfti^ les formules (429) , (43o), (43 1), (432).

Ayant donc tracé les axes rectangulaires AX et AY(j%. 180), Fiç. 180. et pris le point A pour origine , je mènerai le nouvel axe AX' en lui faisant former avec Taxe AX un angle ^, dont la tangente sera exprimée par la formule ( 432) , qui se réduira ,

dans notre cas, à \/i = i, et par conséquent sera celle de la moitié l'un angle droit : je calculerai ensuite , au moyen des formules (4^9), (43o), (43i), les coordonnées a et p du sommet et l'équation de la courbe rapportée à son axe principial , et je trouverai ^

.-' ^ fi- 3

et jr'a - x' = O.

34o THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

Le coefficient de x' me donnera - — p pour la valeur du

paramètre; donc,

a : p : paramètre II \ : { l ^ y. 1:2:4.

L'abscisse négative a étant représentée par i , je prendrai Fig. 180. (^Jig, 180) AB d'une partie , et la perpendiculaire BD de deux ; alors D sera la nouvelle origine, et déterminera le sommet de la^ courbe. Menant donc parle point D une parallèle DGà Taxe AX ', cette droite DG* sera le nouvel axe sur lequel je porterai , de D en F, une partie égale au quart du paramètre représenté par 4» Ayant ainsi déterminé le foyer F et le sommet D, il sera facile de construire la courbe.

Si le paramètre eût été négatif, j'aurais porté le quart du coefficient de x\ de D en F', et la courbe aurait tourné son ouverture dans un sens opposé.

IS25. Dans l'hypothèse dé B positif, le signe de la tangente donnée par Téquation (4^3) étant contraire à celui de B , et la même chose ayant lieu dans Fhypothèse de B négatif, ainsi qu'on peut s'en assurer en Considérant le signe de Téqua-' tion (43i2}, il suit de là que, lorsque B est positif, la tangente de Yam^lep est négative, que la direction du nouvel axe forme un angle obtus ( * ) avec l'axe primitif, et que cet angle devient aigu lorsque B est négatif.