CHAPITRE XXXV- De la quadrature des courbes du second ardre

IS26. La quadrature des courbes a longtemps exercé la sagacité d^ anciens ; les modernes, sur les p^s'de Descartes, ont

(^ ) On doit se rappeler que nous Rommes convenus de placer Porigine de Tangle à droite.

quauhatcre de l'ellipse. 34 i

traité cette question avec de grands avantages sur eux ; mais il n'appartenait qu*à la géométrie de Newton et de Leibnitz de surmonter les difficultés inhérentes à ce sujet, ou du moins de réduire à des approximations tout ce que la nature des choses rend inaccessible aux efforts de Fesprit humain. Il me paraîtrait donc convenable, autant pour se mettre en rapport avec les progrès de la science , que pour épargner un temps précieux à l'étude, qu'on ne s'occupât des problèmes de ce genre que lorsqu'on serait en état de les traiter par l'analyse infinitésimale , qui en donne la solution par des pror cédés si simples et si généraux; néanmoins, pour obéir à l'usage, je, consacrerai ce chapitre à la quadrature des courbes du second ordre , en commençant par l'ellipse^ qui renferme lé cercle comme cas particulier.

527. On a vu (art. 275 ) que si le grand axe de cette courbe est pris pour diamètre d'un cercle , et qu'pi^^nomme ^ et y" deux ordonnées appartenant à la même abscisse, l'une dan$

l'ellipse et l'autre dans le cercle, on a

Cette relation entre les coordonnées des deux courbes peut servir à faire trouver la surface de l'ellipse ; pour cet effet , partageons l'axe des abscisses en parties égales AP, PF, P'P", etc. , et nommons /2 l'une de ces parties {fig^ i8i) ; par les points de Fig.i8i. division P, F, P", etc., élevons des perpendiculaires , et par les points où ces perpendiculaires rencontrent les deux courbes ^ menons des lignes droites qui formeront deux polygones inscrits, l'un à l'ellipse et l'autre au cercle.

Soient PM = y, P'M' = /', P'M'' = y\ etc., nous aurons, d'après l'article cité,

NP = - r, N'P' = - r', N"P"= - y% etc. a a a

Et comme, par hypothèse, AP = PP' r= P'P" etc. =«, on trouvera facilement que le trapèze PP'NN' a pour expression

^^(PN-h P'N') PP' = 1 (^ j + ^y\n=z\~{jr-h /')«;

et comme , d'une autre part, le trapèze PP'MM' a pour expression

i- (PM -+- FMO PP' = iix + rO '^^

le rapport des deux surfaces sera donc exprimé par - .

On prouverait de même que tout autre trapèze inscrit dans Tellipse est à son trapèze correspondant inscrit dans le cercle , dans le même rapport , qui sera aussi celui des triangles APN et APM {*).

Donc , puisque dans une suite de rapports égaux la somme des antécédents est à oelle des conséquents comme un antécédent est à son conséquent , on aura ; la somme des trapèzes inscrits dans Tellipse, et des triangles APN et BP^'N^, est à celle des trapèzes inscrits dans le cercle , et des triaiigles APM et BP^'M'", dans^le rapport de ^ à a : cette propriété, étant indépendante d,u nombre des côtés de ces polygones , appartiendra aussi à l'ellipse et au cercle qui sont les limites des surfaces de ces polygones ; donc

aire de l'ellipse = - aire du cercle, . . . (433)

( * ) Nous avons , en effet,

aire du triangle AMP =; ^ ly ,

aire du triangle ÀNP = ^ « - J' J

donc , en supprinaant le facteur commun \n , on trouve

aire du triangle ANP h

aire du triangle AMP a

QUADRATURE DE l'eLLIPSE. 343

«$1K8. 1 : 7r é^nt le rapport du diamètre à la circonféreiu^e , l'aire du cercle qui a a pour rayon a pour expression tt a* -, substituant cette valeur dans l'équation (602) et réduisant, on aura

aire de V ellipse = irah (4^4)

Si l'on demande l'aire d'une ellipse AA' BB' (y%. 182) , dont

les demi-idiamètres conjugués A'O , B'O sont donnés , ainsi que

l'angle A'OB' = <p, formé par ces demi^-diamètres, conunç on

a (art. 566)

ab = a'h' sin«p,

substituant cette valeur dans l'équation (4^4) > on trouvera

aire de V ellipse z=z ita^h^ sin ^,

âSl9 . On peut se proposer aussi de trouver Taire d'oii segment elliptique ANP ou PNN'P' {fig, 181). Si noiis considérons ces Fig.181. segments comme composés d'une somme de trapèzes qui sont tous dans le rapport de ^ k a^ on prouverait , comme on l'a fait pour l'ellipse , qu'en passant à la limite , on a *

aire ANP = - (^aire du segment de cercle AMP) ,,

aire PNN^' rr - (aire du segment de cercle PMM'P' ).

850. Le même procédé que l'on a employé pour trouver l'aire de l'ellipse étant appliqué à l'hyperbole, si l'on représente par A l'aire de l'hyperbole équilatère, dont l'équation

(art. 501) est

jr^ = x^ — fl%

il sera facile de prouver, comme dans l'art. I5SI7 , que chaque trapèze de l'hyperbole sera à chaque trapèze correspondant de l'hyperbole équilatère, dans le rapport de ^ à â;, et de conclure, comme dans cet article, que le segment d'hyperbole a pour surface l'aire du segment correspondant de l'hyperbole

344 THÉORIE DES COUaBES DU SECOND ORDRE.

équilatére multipliée par le rapport - ; de sorte que si l'on désigne par A et par B les aires de ces sejgments dans Thyperbole et dans l'hyperbole équilatére , on doit avoir

A = -'. B sm o.

ëSl. La question de la quadrature de Thyperbole étant ainsi

ramenée à celle de l'hyperbole équilatére y occupons-nous de la

quadrature de cette courbe; et comme elle s'étend à l'infini ,

cherchons à déterminer la portion d'hyperbole équilatére com -

Fig.i83. prise entre les coordonnées PM et RS (y%. i83}.

La question se réduit à trouver l'espace asymptotique MPSR ; car, si on le connaissait , il suffirait de le retrancher du rectangle PMLR = PR X PM pour avoir la portion d'hyperbole équilatére demandée.

Gela posé) l'équation de l'hyperbole rapportée aux asymptotes rectangulaires étant xyr=m^y équat. (225)(p. 2o3), supposons d'abord iti^ = i, et l'équation de notre hyperbole sera

xjr = i. , , \ (435)

Prenons également l'abscisse AP pour unité ; l'équation (4^5), en y faisant j?= i, nous -donnera 7' = i* Considérons ensuite une abscisse quelconque que nous représenterons par AR y et sur la partie PR de cette abscisse , qui sert de base à l'espace asymptotique que nous voulons mesurer, construisons dans la longueur de PR les rectangles

PMNP^ P'M'N'P', ^''WWV'% F"M'"N'"P'% etc.; si nous nommons « , a', a" y a'", etc. ,

les abscisses AP, AP', AP", AP'% etc. ;

et by b'y b"y b"'y CtC. ,

les ordonnées PM, P'M', P''M'', VW\ etc.,

QUADBATU&E DE l'hYPE&BOLE. 345

et puisque ÂP = i, en faisant x == i l'équation (435) nous

donnera

6 = 1, les rectangles

PMNP', P'M'N'P'^ P"M"N"P'% P"'M'"N'"P»% etc. auront respectivement pour bases ^ ^