AP' — AP, AP' — AP', AF' — AP

ou a' — I , a" — a\ a!" — a'\ etc. ,

et pour hauteurs i , h\ h'\ etc. ;

de sorte que nous aurons

rect. P M N P' = (a' — i ) (*), rect. P' M' N' P'' = {a" — a') b\ recf. P'" M'' N'' F" = (a'' — a") b'', ainsi de suite.

Or^ I, a' y o!\ a"'^ etc., étant les abscisses des points M, M',

M'^, Wj etc., de la courbe , dont les ordonnées sont i, b'^

b"y b^j ces coordonnées satisferont à l'équation xy=zi, d'où

Ton tire

cette équation nous donnera donc

i^*) ObsenroDS que la hantour da rectangle FMNP'est Tunité, parce que la valeur «=1 de l'abscisse AP, étant mise dans l'équation (4^5), nous donne ^ = i; ce qui est cause que le rectangle est désigné seulement par a'—- 1 . Il suit encore de la valeur r == i? que le rectangle APMQ est un carré.

346 THioaiE DES GOUEBEft DU SECOND OEDEE.

substituant ces valeurs dans les équations (436) , ces équations deviendront

rect. P M N P' = (û' — i),

rect. F M' N' P"= (a" —«')-,»

rect. F'M'^r'P*— («'"—a") —5

ainsi de suite ; et en effectuant les divisions par a' y a\ a!" ^ etc., on aura

rect. P M N P' = €i' — I

rect. P'M'N'P^rr ^— I,

rect. P''M''N''P«'= ^— ij

ainsi de suite.

Les abscisses , à l'exception de la première , n'ayant été déterminées par aucune condition , sont arbitraires. Par conséquent on peut prendre a , a', a" ^ a"* y ^tc. , en progression géométrique ; et comme le premier terme a est Funité , la raison sera égale au second terme, et tous les autres deviendront- les puissances successives de ce second terme a' (*) , c'est-à-dire qu*on aura

remplaçant ces valeurs dans la suite d'abscisses

a, a' y a" y a"' y a^% . . . , (fl')".

(^) Four s^cn convaincre, soit une suite de termes a, by Cy d, etc. , •en progression géométrique, et r la raison. Par la nature de ces sortes de progressions , on a b=.ar,c = &/-, d=z br, etc. ; donc puisque, dans nôtre hypothèse, le premier terme est i, la première de ces équations se réduit à & =:r : au moyen de cette valeur, et par des substitutions successives, on obtient c = /•', rf = r ', etc.

QUADRATURE DE l'hYPERBOLE. 3^']

et en observaiU t[iie a = i , cette série se change en 1, «', (a')% («7. {a' y,..., ia%

et les équations (437) deviendront

rect. P M N F = a' — i = a' — i,

rect. P' M' N' P'' = i— ^ i == a' -- i,

rect. P'^M'^N'^P^nr (fQl — , = a' — , ,

etc., etc.

On voit donc que tous les rectangles compris dans l'étendue de PR deviennent égaux.

Ajoutons maintenant au premier rectangle le second , et ensuite le troisième , le quatrième , etc. , nous aurons successivement des sommes croissantes de rectangles égaux qui , y compris le premier, correspondront aux abscisses

AP', AP", AP", . . . , AR ou AP«.

A regard de AP, comme les rectangles ne commencent qu'en P% cette abscisse AP , qui est égale à l'unité, ne correspond à aucun rectangle , c'est-à-dire qu'on peut admettre que x =zi correspond à l'aire zéro. D'une autre part, on verra qu'aux abscisses suivantes

AP', AP', AP'% AP'% . ., AR, ou a', ' a", a'\ a^\ . . . , AR ,

i*épondent les aires

«' — I, 2(fl'— i), 3{fl' — i), 4(^' — 0>--->''('^ — 0^

d'où Ton peut conclure que les abscisses

étant en progression géométrique , leurs aires correspondantes indiquées par

o {a! — i)j 2(a' — 1), Zip! — i), . .., n{a! — i),

soutien progression arithmétique ; d*où il suit que les airessont les logarithmes des abscisses correspondantes.

Maintenant il est évident que plus il y aura de rectangles dans rétendue de P'R, et plus les ordonnées PM, P'M', P''M", etc. se rapprocheront , et moins Fespace qu'elles comprennent sera grand, et plus la somme des rectangles compris depuis P jusqu'à R se rapprochera de Taire asymptetique ; de telle sorte que Fespace PP' diminuant continuellement , P'se confondra avec P dans le cas de la limite ^où le nombre n de rectangles est infini; alors la somme totale des rectangles ne différera plus de l'espace asymptotique PMSR, qui sera le logarithme de l'abscisse AR.

IS5d. U s'agit maintenant de savoir quelle sera la base de ce système de logarithmes.

Pouscela, remontons au terme général n(a^ — i), que nous avons vu être le logarithme de l'abscisse AR représentée par {a! )*; et en désignant cette abscisse par a, nous aurons donc

et par conséquent , a' = \/a (439)

D'un autre côté, puisque n (a! — 1) est le logarithme de a, si nous appelons B la base du système , nous aurons

QUADRATUBE DE L^HYPERBOLE. 349

substituant la valeur de a! tirée de l'équation (439) j on aura

Si nous voulons que la base B, qui est arbitraire tant qu'on n'a pas adopté un système de logarithmes , soit égale à a , il faudra qu'on ait a = B ; et Téquation (44 ï) se convertira en

et en prenant les logarithmes , on obtiendra

log» = loga'»^'*"*)^

et , d'après la propriété des logarithmes , cette équation peut prendre cette forme

loga = «(v^ — ijloga; supprimant le facteur commun, il restera

«Vs/a — ij = i;

on tire de là

et en élevant à puissance n ,

développant le second membre par la formule de binôme, il

et en repféfljnitant par N le troisième terme , par N' le qua-

35o THEORIE DES COUEBES DU SECOND ORDEE.

trième, etc. , cette suite deviendra

/ï=3,2-4-N-4-Ni — 5 — i-4-N'i — y — ^-, etc.; . on ^ n

restituant les valeurs de N , N', K\ etc. , et exécutant les opérations indiquées , on obtiendra

£n vertu de notre hypothèse y faisant n^zz co, les termes divisés par n seront tous nuls , et l'équation précédente se réduira à