II III

a = 2 -^ h--r-h --^y-f-etc.

Bornons-nous à prendre les douze premiers termes de cette suite, nous trouverons

a = 2,7182818, etc.

Nous reconnaissons dans cette valeur celle de la base e du système népérien , qu'on est convenu de désigner par e.

I$55. La quadrature de Thyperbole équilatère dout'l'eqitaition est ' * •

xjr t= I

nous conduit à celle de Vhyperbole équilatère plus général^ qui appartient à l'équation /

xjr =z m

car, en construisant ces deux hyperboles, on voit même abscisse nous.avons les ordonnées

PN=:- et PM=:— ,

QUADR/iTURE DE LA PARABOLE^ 35 1

et que par conséquent chaque ordonnée de la seconde hyper- 'bole est égale à Fordonnée de la première mukipliée par la même quantité constante m^. Ainsi , par la même démonstration que nous avons employée (art. 327) , nous conclurons que le segment hyperbolique , qui appartient à Téquation xy = m% est égal au segment hyperbolique qui appartient à l'équation xj- = i multiplié par la constante /w*.

ISS4. Déterminons maintenant la quadrature d'une portion de parabole , courbe qui , s'étendant à l'infini comme rh3rperbole, ne peut être entièrement carrable : pour cela, des points m, wi', iw", m'" [fig> i84) pris sur la courbe, abaissons Fig.184. les perpendiculaires /w/?, m'p\ m"p'\ nfp"\ etc., sur l'axe rectangulaire des X , et les perpendiculaires mq , m!q' , m"q" , m'^q"'y etc., sur Taxe rectangulaire des/; nommant

A/?, A/?', A/?", kp'\ etc.; ar, x', ar", x'" -^ et Aç, A.q', k.q% k.q*"^ etc.; y, y', y\ y"\ etc.,

les angles droits jo'/w'/z, q'm' r^ qui sont opposés au sommet en iw', formeront le rectangle intérieur m'p et le rectangle extérieur m'q ; représentant le premier par D et le second par £, ces rectangles auront pour expressions

D = y?/2 X JD/f , E = mn X q'Tn\ ou, en mettant les valeurs analytiques de ces lignes, «r

D=(^-y)/,* E = (j~/)^, et par conséquent on trouvera pour leur rapport • •

l'équation, de la parabole étant y"^ = ipx^ on on tire •

352 THlEo&lB DES GOUBBES DU SKCOVD ORDRE.

substituant ces valeurs de x et de â/ dans l'équation (444)> ^^ obtient

supprimant les facteurs communs, cette équation se réduit à

ou plutôt à

On prouverait de la même manière qu^en désignant par D' et par E' les rectangles m"/?' et /n"^', l'Un intérieur à la para- ' bole et l'autre extérieur, on a encore

ly r'

et qu'en désignant de même par D" et par E" les rectangles m'^p^' et m"^q'\ on a également

v-^ = ^ -^ TT,y (44?)

ainsi de suite.

* - Or les ordonnées Xy y\ y" ^ /'% qui sont représentées sur la

figure par A^',' A^', A^'", Ay'", etc., étant arbitraires, puisque les points m , m', m" sont placés jusqu^à présent au hasard sur fa courlfe', nous pouvons prendre Aç, kq'j k.q'\ etc., en progression géométrique, mais de telle manière cependant que A^, ' • quoique différant peu de A.q\ soit plus grand que kq'j de même que kq'y peu'différent de kq'\ le surpasse, etc. ; ce qui exige que la raison de cette progression excède l'unité. • ^ Ainsi, en désignant par m une quantité très-petite, nous

pouvons ^représenter par i + /n la raison de cette progression