FCTRMULKS POU» CONSTRUIRE LA PARABOLE

géométrique

w r\ y' \ y" : y'\ etc. ; Fig.184

et comme, eu divisant un antécédent par son conséquent, on a

^, = H-/w, ^ = i-hm, :^= 1 -+-/W, etc.,

substituant ces valeurs dans les équations (445)> (446)>

(447) > etc., nous aurons

IW,

etc.;

et comme dans une suite de rapports égaux la somme des antécédents est à la somme des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent , il s'ensuit qu'on a ^

Or plus m sera petit, moins deux ordonnées consécutives différeront Tune de Tautre, et par conséquent plus elles seront rapprochées; de sorte que si Ton passe à la limite en faisant /w = o , la somme des rectangles intérieurs D | D'| D"+ D'"-+- . . . , se réduit à Taire parabolique AiwP, et la somme des rectangles extérieurs devient l'espace kqmm'm"K\ et, en représentant par S et par S' ces deux

surfaces, on a

d'où Ton tire S = 28';

354 THÉORIK DES COURBES DU SECOND ORDRR.

et comme Ton a S -f- S' = A/? X pni ,

ou ' S -h S' = xy^

S en remplaçant S' par sa valeur - , on obtient

ou

et

xy.

Ce qui nous apprend que Faire du segment parabolique kmp est les deux tiers du rectangle construit sur les coordonnées

X et ^('*). [Note vingt-deuxième»)

{*) Il est à observer que quand le nombre n de rectangles est infini, ces rectangles deviennent chacun infiniment petits, de sorte que Tune de ces choses détruit TefTet de Taiitre, etqu^une quantité qui se réduit à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont zéro, peut exprimer une quantité finie, par la raison que zéro peut-être considéré comme un facteur commun. Au reste , il est démontré , avec la plus grande évidence, dans mes Éléments de Calcul différentiel, que

toute expression qui se présente sous la forme - peut renfermer une

quantité finie.