CHAPITRE III

Des projections d'une droite située dans l'espace^

et de ses plans projetants,

559. Si de tous les points d'une droite MM"' {fig, i89)Fig.i89. située dans Tespace, on abaisse des perpendiculaires MQ, M'Q', M"Q", W(^y etc. , sur l'un des plans coordonnés que nous supposerons être le plan desjr, j, toutes ces perpendiculaires seront dans un même plan. La chose est évidente si Ton ne considère que deux de ces perpendiculaires ; mais s*il y en a trois, MQ,"M'Q', M"Q'', il faut prouver que le plan des droites MQ, M'Q' est le même que celui des droites M'Q', M"Q" ; c'est ce qui est facile, car la droite M' M", qui est le prolongement de MM', est à la fois dans le plan MQ' et dans le plan M' Q" ; la perpendiculaire M'Q' est aussi dans ces deux plans, parce que cette droite en est la commune section. Or, deux plans qui ont deux droites communes doivent se confondre. On prouverait de même que toutes les autres perpendiculaires sont dans le même plan.

340. Le plan MQ'" qui contient toutes ces perpendiculaires porte le nom de plan projetant, et sa commune section Q(^" avec le plan des Xy y est la projection de la droite sur ce plan.

Cette projection QQ"' peut être considérée encore comme la

droite qui serait formée par les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de la droite MM^'' sur' le plan des

Mt . Ce que nous disons du plan des Xy y pouvant s'appliquer aux plans des y^z et des ^, z , on pourra déterminer le» projections de la droite MM^ sur ces plans , en abaissant des perpendiculaires de tous les points de cette droite sur chacun des plans des j, z et des x , z.

Mfi. Les perpendiculaires MQ, M'Q', M"Q", etc. , étant terminées à leurs extrémités par la droite MM''' et par . sa projection QQ*', il suit de là que ces droites MM'" et QQ'" sont situées dans le plan QM"', qui (art. 559 ) est commun à toutes ces perpendiculaires.

Le plan projetant a donc la propriété de contenir la droite donnée dans l'espace et sa projection. Cette projection pouvant être sur Pun quelconque des plans coordonnés , il y aura donc trois plans projetants , respectivement perpendiculaires à chacun des plans coordonnés.

IS43. Puisque la droite donnée doit se trouver dans un quelconque des plans projetants , il est évident qu'elle sera la commune section des trois plans projetants. Or, cette com-* mune section étant également déterminée par la rencontre de deux des plans projetants , il en résulte que, pour fixer la po- Pigigo sition de la droite KL [fig. 190) dans l'espace, il Suffit de donner deux de& trois plans projetants.