CHAPITRE IV

Des équations d'une droite située dans Vespctce.

fig.190. U44. Prenons arbitrairement (^^. 190) sur une droite KL située dans l'espace , un point M dont nous représenterons les

DBS 1£QUATI0NS n'uME DlE^OlTE DANS L^eSPAGË. 3S9

coordonnées par or, j, z ; abaissons de ce point M une perpendiculaire MQ sur le plan des z^ x ^\e pied Q de cette perpendiculaire sera un point de la projection de la droite KL sur le plan des x, z. Or, le point Q est déterminé sut le plan des z , x par les coordonnées AP et PQ, qui sont précisément les coordonnées z et 0? du point M ; donc ces coordonnées z et a; du point M ont la propriété d*appartenir aussi au point Q de la projection de la droite KL sur le plan des z, x. Ce que nous disons du point M pouvant s'appliquer à tout autre point de la droite KL , il suit de là que les coordonnées z et a; sont liées entre elles par l'équation de la projection de la droite KL sur le plan des z, x. Cette projection étant une ligne droite située dans le plan des z, Xy si nous représentons son équation par z t= ax -{- oLy les coordonnées z et a; d'un point quelconque de la ligne droite satisferont donc toujours à cette équation , ou , ce qui est la même chose , l'une des coordonnées étant donnée y cette équation déterminera la valeur de Pautre.

On prouverait de même, en abaissant une perpendiculaire MQ' sur le plan des z, /, que les coordonnées AP =:z , P(y = / d'un point M de la droite KL sont liées entre elles par Féqualion z= by -\- p, qui est celle de la projection de la droite KL sur le plan des z, jr.

Enfin, en abaissant du point M une perpendiculaire MQ" sur le plan des z, y, i\ serait facile de s'assurer, par le même procédé , que les coordonnées x et jr d*un point quelconque de la droite KL sont liées entre elles par l'équation de la projection de cette droite sur le plan des Xy y.

IS45. Deux de ces trois équations suffisent pour déterminer la troisième. En effet, les coordonnées^, y y z appartenant à un même point de la droite KL , si Ton élimine z entre les équations z = fl.r -H a , z = ^/ -♦- p, on trouvera

36o THioaiE DES SURFACES DU SECOND 01CDRE.

Cette équation , qui est du premier degré , exprime la relation qui existe entre les coordonnées a; et y^ et par conséquent doit être celle de la projection de la droite sur le plandes ^, /(*).

I$46. Il résulte de ce qui précède , que lorsqu'on donne deux des équations des projections, la position de la droite

( ^ ) Si Ton en avait encore quelque doute, représentons par j" = Ax + B Téquation de la projection sur le plan des o:^ r ; il est facile de prouver que cette équation est identique avec Téquation

a a — fl

Pour le prouver, soient x'yjr\ «', etaj^j^f", «", les coordonnées de deux points de la ligne droite; ces coordonnées devant satisfaire à la fois à ces deux équations , nous avons

On tire, par TéUmination dey et dey,

Retranchant les équations (4^8) Tune de Pautre , on a

^A-|Y(x'-x")=so.

Les coordonnées x' et x" étant par hypothèse inégales, cette équation ne peut être satisfaite que lorsque le premier facteur est égal à zéro , ce qui donne

Cette valeup réduit l'une des équations (448) à

d'où l'on tire 'R = fLZj!.

' PROBLÈMES SUR LA DROITE DA?iS l' ESPACE. 36 1

doit être fixée dans l'espace. En effet , si sur les plans coordonnés qui renferment ces projections , on mène deux plans perpendiculaires, ces plans seront les plans projetants. Or, nous avons vu (art. 845) que par leur intersection ils déterminent la position de la droite dans l'espace.

Les équations des projections d^une droite dans l'espace sont appelées ses équations.