CHAPITRE V

Solution de dwers problèmes relatifs à la ligne

droite dans V espace.

PaOBLiME P^.

S47. Une droite ayant pour équations

X ^= az ^ a, jr =z bz -^ p ^

trouver les coordonnées du point où elle rencontre l'un des plans coordonnés.

Si ce plan est celui des x, jr> on fera zrzr o, et l'on obtiendra x=a^ j'=zp pour les coordonnées de ce point.

Ce même procédé s'appliquerait aux autres plans ; mais on doit observer qu'il faut alors avoir l'équation de la troisième projection. Pour l'obtenir on éliminera z entre les équations données de la droite, et l'on trouvera

Si l'on fait donc j = o , les deux équations qui contiennent cette variable donneront

p ap

pour les coordonnées du point où le plan des z , jc est percé par la droite. Enfin , en faisant xzrzo^ on trouvera de même

pour les coordonnées du point où la droite perce le plan des z, /.

PaOBLiHE II.

548. Trouver les équations d'une ligne assujettie à passer par un point.

Soient x', j', z' les coordonnées de ce point. Les équations de la droite donnée étant

ar =: HZ -h a, (449)

puisque les coordonnées x' ^f ^ z' satisfont à ces équations, ovt aura

x' = flz' -4- a ....... . (45 1 )

Mettant dans l'équation (449^ ^^ valeur de a tirée de Féquation (45 1), et dans réquation (45o) la valeur de p tirée de l'équation (4^2) , ce qui revient à éliminer a et p entre ces équations , on obtiendra

Problème III.

i549. Trouver les équations de la droite assujettie à passer par deux points.

Soient x', j', z' et x'\y\ z" les coordonnées de ces points ; assujettissant la droite à passer par le point x', y', z', on trouvera les équations (453) ; ces équations devant être satis-

l>&OBLÀ]f£S SUR tA UaOIT£ DANS L^ ESP ACE. 365

Eûtes par les coordonnées x" ^ y" y z!'y en mettant ces coordonnées à la place de or, de / et de z, ces équations (453) de* viendront

d'où Ton tirera

Substituant ces valeurs dans les équations (4^3)9 on aura, pour les équaticms de la ligne assujettie à passer par deux points,

■Lj^^z-z'), jr-y=Ç-^(z-zf). . . (454)

Problème IV.

iSW. Trouver la condition nécessaire pour que deux droites données dans l'espace se rencontrent,

Soient les équations de ces droites

j: = az-4-a, jr =z b z -^ p ^ ... (455) X = a'z -h oi!y r = b'z -f- p'. . . . (456)

Les coordonnées doivent être les mêmes au point de rencontre. Éliminant donc les trois variables x , /, z entre ces quatre équations, on trouvera d'abord, en retranchant les équations (456) des équations (455) ,

[a — a')z -{- et — a' = o, .... (457) {h — b')z -h p — p' = o; . . . . (458)

et en éliminant z entre les équations ( 457 ) et (458 ) , on obtiendra

364 THl^ORIE DES SURFACES DU SECOND OILORR.

Telle est la condition nécesssùre pour que ces droites se rencontrent.

6Si. Si Ton substitue la valeur de z donnée par Téquation ( 457) dans la première des équations (455), et la valeur de z donnée par l'équation (458) dans la seconde des équations (455) , on déterminera les coordonnées j: et j* du point d'intersection.

Si l'on y joint Te^pression de z donnée par l'équation (45^) , les coordonnées du point d'intersection seront

lot- — a) fl a' — a'a

y - b ^^' - ^) + 6 - tl^nU

^ - * T^rp ^ P - b - b'-'

a — fl'

SiJ2. Lorsque a^=za et que b = b-, ces valeurs deviennent infinies.

Par ci^séquent, les droites se rencontrant à une distance infinie sont parallèles. Ainsi , pour que deux droites dont les équations peuvent , en général , être représentées par les équations (455) et (456) soient parallèles^ les conditions de ce parallélisme sont « = a', b =z b'.

Problème V.

i$85. Par an point donné x' ^ y\ 2', mener une parallèle h la droite , qui a pour équations x == a'z -f- a , jr^=.b'z-^^.

Cette droite étant assujettie à passer par le point x, /', z\ a des équations de cette forme (art. 348) :

Pour exprimer la condition du parallélisme , nous ferons

PnOBLilMES SUR LA DROITE DANS l'rSPACE. 365

(art. ^52)

et nous trouverons , pour les équations de cette droite,

Problème VI.

5Ô4. Trouver la distance de deux points dont les coordonnées s^ont x', j', a' et x\y'\ z" .

Soient M et M' ces points (^g*. 191) , Fig.191.

APr=a;'', PQ=r", QM=2'S AP'=:ar', P'Q'=r'> Q'M'==:z',

leurs coordonnées.

Ayant tiré les droites QQ', MM^ si du point M le moins élevé au-dessus du plan des x , j on mène une perpendiculaire MJN sur l'ordonnée M'Q', le triangle MNM' rectangle en N donnera

MM'' = M'N' -h MN%

ou MM'=» = (z' — z )» + QQ'^ •

Le triangle QLQ' rectangle en L donne

QQ'^ = QL' -h Q'L% ou QQ'* = (a/ - x" y H- [y' - y" )^

Substituant ,

MM'==r(z'-~2")2-h(^— x")'H-(/ — y)^; . . . (46o) et par conséquent,

MM' = \i\x' — x" y H- {y' — /' y -h («'"^ z' )% expression de la distance de deux points M , M'.

S5S. Si le point M' coïncide avec A [fig, 192), MM' de- Fig.iga. vient AM , et les coordonnées du point A étant nulles , on a

AM' ^ x" -f- y"^ 4- z'\ \ (46i)

366 THÉORIE DF.S SURFACES DU SECOND OttliKE.

Théorkmb.

886. Démontrer que la somme des carres des cosinus des angles a, p, 7, qu'une droite /ait avec les axes cooordon^ nées^ est égale à i* unité.

Soient toujours x\ y'y z! et x", y'\ z", les coordonnées des ï'ig.ig»' points M' et M par lesquels passe une droite MM' [fig, 191) ; l'angle que cette droite fait avec Taxe des z étant 7, et M'Q' étant une parallèle à cet axe, Tangle M' =7; et comme l'angle N est droit , on a M'N = MM' cos M', ou z' — z"= MM' COS7. Par la même raison, en projetant deux coordonnées a/ et j?" sur le plan des\y, z , et deux autres y' et y" sur le plan des X, z, on prouverait que /' — ^"= MM' cos 6, et que x' — x"-=z MM.^ cos a.

Substituant ces valeurs dans Féquation (46o ) , on obtient

MM'' = MM'^ cos » 7 H- MM" cos' 6 -h MM" cos ' a ;

et en divisant par MM'%

cos ' 7 -f- cos ' 6 -H cos * a = I .

Problème VII.

857. Troui^er le cosinus de l'angle formé par deux droites qui se rencontrent dans l'espace.

Soient

X •=. az -^ OLy y 1= bz -^ ^ ^

X = a'z^ a', y ■=: b'z-Jf p'

Fi0.i92. les équadons de ces droites. Menons par Torigine {Jig. 192) deux droites parallèles AL, AJL' à ces* droites; les équations de AL et de AL' seront

X = flZ , y :=: bz y

X = fl'z, y = b'z.

PROBLEMES SUR LA DROITE DANS l' ESP ACE. 867

Les droites AL et AL' formant entre elles le même angle que les droites données , la question se réduit à trouver le cosinus de l'angle LAL'.

Pour cet efTet , prenons des parties AM y AM' égales à l'unité , et menons MM', nous aurons dans le triangle AMM' cette relation

MM'* = AM» -h AM'« — 2 AM . AM' cos MAM' ( * ) , qui donne

^"^^^^ ~ TMl^' (*^")

En représentant toujours par a/ y y\ z! les coordonnées du point M', et par x"y y\ z" celles du point M , nous aurons (art. IMS4).

MM'»= {xf-^x"y -h (/—/')' -+- (z' — z" Y = jr'>4-/»H-«'»--h Jc'''-f-/'»--h3'''---2(x'jr''H-y/'H-2V') ;

et j en observant que AM' exprime la distance du point x'^ y y z' au point A, dont les trois coordonnées sont nulles, l'équation (46 1) nous donne

AM'» = x'» -4- /* -4- z'% de même AM» = x"^ -+- /' » -i- z"\

( * ) Pour démontrer cette proposition , de Pnoe des extrémités de MM' {fig. igS), abaissons la perpendiculaire MN sur le côté opposé, nous Flg.193. avons

MN = AM sin A, AN = AM cos A.

Substituant ces valeurs dans Féquation

MM'» = MN' -h (AM' — AN)> ; faisant sin' A + cos' A=i, et réduisant, on obtient la valeur de MM'*.

368 TBKORIE DES SURTACES DU SEGOm) C^RDaÊ.

En substituant ces valeurs de MBf , de AM'^ et de AM^ dans Téquation (462) , on réduira cette équation à

cos MAM' = 2^ ,•;; X ->

aAM.AM' «t à cause que AM = AM' = i , cette équation deviendra

cos MAM' = 3(fx" -h //' + 2V'.

Cela posé, le .point x^^y", z" étant pris sur la droite AL qui a pour équations a? = az , y =l bzy on aura

x'' = az'\ y" = bz".

De même , Je point a/, y^ z' étant sur la ligne AL', les coordonnées ar', y, z' satisflgront à ses équations, et Ton aura

Substituant ces quatre valeurs de a/, de y' ^ de x" et de ^", on trouvera

cos MAM' = («fl'-H bb' -^ i)zV'. . . . (463)

Cherchons maintenant les valeurs de zf et de z!^ en fonction des constantes aet b.

On a entre les coordonnées du point M' les trois équations

a/ = az', y = bz', o/^ -h y'^ + z'^ = i .

Mettant dans la troisième équation les valeurs de x' et de y tirées dés deux premières , il vient

z'*(fl»4- è'-f- ») = t;

d'où z

Par un même procédé on trouvera

y/fl'2 -h è" -h I

PROBLEMES SUR LÀ LIGNE DROITE DANS l' ESPACE. 869

Substituant ces valeurs de z' et de z' dans l'équation (463), on obtient enfin

ros]VfAM^=- — ' . . (4"4)j exprès-

^/o72 û?« cosinus de l'angle formé par les droites qui ont pour

équations x=az-^ay jr=bz-\-Py et x= a'z+a', jr= b'z-\-^', ^ •

Si i^angle MAM' est droit , cos M AM' z= o -, donc alors

aa' -f- ôô' -f- I =;: o.

Pro'blème VIII.

588. Trouver les cosinus des angles qu'une droite qui passe par l* origine fait apec les trois axes rectangulaires.

Ce problème est un cas particulier du précédent ; c'est celui où une des droites AL, AL' {^g- 192) coïncide avec Fun des Fip.iq^ trois axes. Supposons donc que la droite AL', par exemple , se confonde avec l'axe des z ; cet axe , qui est l'intersection commune des plans des x^ z et des z, j, est lui-même sa projection sur l'un de ces plans : or, dans les équations x = a'z et y = b'z de la droite AL', a' et b' sont les tangentes trigoriométriques'des angles que les projections de la droite sur les plans des Xy zet des z,/ forment avec Taxe des z; et comme nous venons de voir que les projections et la ligne projetée AL' se confondent avec Taxe des z, il en résulte que ces tangentes sont nulles ; cette hypothèse réduit l'équation (464) ^

cos MAZ =r , . . . (465), expres-

sion du cosinus de l'angle que fait avec l'axe des z la droite qui a pour équations x = flz, y = ^z.

Si la droite AM' se confond avec l'axe des x , elle se trouve dans la commune section des plans des x, z et des x , /, et par conséquent se confond avec ses projections sur ces plans;

alors l'équation x ■= a!z mise sous cette forme « = — x , don-

nant-7 pour la tangente trigonométrique de l'angle que la projection de la droite AM^sur le plan des^, z forme avec Taxe

des Xy il résulte de ce qui précède que — = o ; de même Té-

quation delà projection sur le plan des x^y étant (*) ^ = — jr,

on conclut par le même raisonnement que Ton a -7 = o. Cela

posé 9 divisons l'équation (4^4) P^^ ^'^ nous trouverons

fl-+- 6 -7 H

effisLçant les termes qui sont nuls, cette équation deviendra

cosMAX = =, . . (466), exprès-

sion du cosinus de i'angle que fait avec l'axe desx une droite qui a pour équations x =z az , y -znhz.

Enfin on trouvera , par le même procédé ,

cosMAT = , ^ , --. . . (467), exprès-

sion du cosinus de l'angle que fait avec Vaxe des j- une droite qui a pour équations x =i 09^ y =: hz. {Note vingt-troisième.)

(*) Cette équation se tire des équations «•= a'5, r = *'«, en éliminant 1;.

PROBLÈMES Sun LA LIGNE DROITE DANS l'BSPACE. 3^ I

Problème IX.

H&Q, Connaissant les cosinus des angles que forment deux droites avec les axes coordonnés, trouver V expression du ixfsiniis de l'angle qui est compris entre ces droites.

Soient a, p, 7 les angles que la première droite forme avec les axes des x , des y et des z ; a', p', 7' les angles que la seconde droite forme avec les axes des x, des y et des z; et (f Tangle que ces droites forment entre elles.

Les équation^ de ces droites étant représentées par

X = az-\- atj x=z a'z -H a', yz=bz-hp, ^ = è'z-hp', on aura (art. ISKS)

\/n-«*-i-ft* Vi-f-«2-f-^' yi-f-fl'-l-ft*

eosa= — y conp'zzz — j cos 7=

/T^VM^ y/^TfVM^ Vn-«''+^"

en multipliant par ordre les termes correspondants de ces deux lignes ) on trouvera

ad^ = cos a CO6 a' \/i -♦- a* 4- b^ ^i -f- /?"-!- ô'%

' J)b' = cos p cos p' ^i-f- ii'4- ^ ^n-a'2-f.^'» ,

I =cos7 cos 7' v^i -h «'-h ^' ^i-i'a^^-\-b'K

Substitiumt ces valeurs dans l'expression (464) du cosinus de faillie formé par deux droites (art. ^37), elle deviendra

COS <p = cos «* cos«' -I» C05 p cos p' -f- cos 7 cos 7',

expression du cosinus de V angle formé par deux droites y dgnnée en fonction des cosinus des angle» que ces droites font avec les trois axes coordonnés,

372 THÉORIE DES SURFACES DU SECOND ORt)RE.