PROBLÈMES SUR LE PLAN. Z

parallèles aux axes des x et des z , se couperont à angle droit , dans le plan MDE, en un point G.

Gela posé, il est visible que MQ == QG 4- MG.

Or, toutes les perpendiculaires abaissées sur le plan XAY des points de la parallèle DE, étant égales et. ayant la même ordonnée /, il en résulte que

GQ .= DH = AH tang DAH = x tang DAH.

On a, d'autre part,

MG = DGtangMDE;

et parce que les angles MDE , BAX sont égaux , et que la parallèle DG à Taxe des x, étant comprise entre le plan ZAY ^ l'ordonnée MQ , est égale à Tabscisse AP , on pourra , au lieu de tang MDE et de DG , substituer tangente BAX et la valeur x de AP dans l'expression de MG, et Ton aura

MG = x tang BAX.

Si Ton met dans l'équation

MQ = QG -f- MG, •

les valeurs que nous venons de trouver pour QG et pour MG , on obtiendra

MQ ou . . a = / tang DAH -4- x tang BAX.

Nommons b et a ces tangentes des angles DAH , BAX formés par les traces avec les axes des r et des x , nous aurons

z '= ax -h by'y équation du plan qui passe par V origine.

565. Si le plan ne passe pas par Forigine, il rencontrera l'axe de§ z ou son prolongenient. Supposons donc que le plan C B' [fig- 196 ) intercepte l'axe des z en A', et soient x , „. r^ y^ z les. coordonnées d'un point M' de ce plan. Si, parl'ori-

374 THEORIE IiES SURFACES DU SEGOlfD OROR]£.

gine A, l'on mène un plan GB parallèle au plan G'B% et qu'on nomme a' Fordonnée QM de ce second plan ^ QM,et QM' différeront de MM'=:AA'=:c; on aura donc z = «'-+-c. L'ordonnée z' appartenant au plan CB , qui passe par. Forigine ^ on aura (art. 462) z'=:aa; + ^j; par conséquent l'équation précédente deviendra z = ax -{^ by -^ c. Si le plan coupe l'axe des z sur son prolongement, c changera de signe.

^64. Pour donner plus de symétrie à l'équation précédente ,, on la multipliera par la quantité arbitraire G ; faisant ensuiti^ passer tous les termes dans le premier membre , on aura

Cz — Cax — Cby — Gc = o, et faisant

— G« =r A, — G^ = B, — Gc = D,

cette équation deviendra

Ax -H B/ -H Gz -H D = o, équation générale du plan*

Problème II.

tS6^. Trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à l'un des axes coordonnés.

Si ce plan , par exemple , est perpendiculaire à l'axe des z , tous les z seront égaux ; on aura donc pour l'équation de ce plan

z z= constante.

Par la même raison , si ce plan est perpendiculaire à l'axe des j, son équation sera

y = constante.

Enfin , si ce plan est perpendiculaire à l'axe des x , son équation sera

X = constante.

PROBLÈMES SUR LF. PLAN. ^'jS

Pour Tune de ces équations, les deux variables qu'elle ue renferme pas sont arbitraires; par exemple, si l'on avait z = a, et qu'on prît au hasard x = m^ j = « , les trois coçrdcAinées m^ n et a suffiraient pour déterminer un point du plan.

Problème III.

S66. Trouver la distance de rorigine, au point où le plan rencontre l'un des axes.

Considérons le point où le plan proposé coupe Taxe des z.

Ce point jouira de ta propriété de tous ceux qui sont sur cet

axe : or, pour tous les points de cel axe, x = o et / == o.

Substituant donc ces valeurs dans l'équation du plan , on la

réduira à

Cz -h D = o; d*où l'on lirera

pour l'ordonnée du point d'intersection, c'est-à-dire pour la distance de l'origine au point où le plan proposé coupe l'axe des z. Ce que nous dftons de cet axe peut s'appliquer aux

autres.

Problème IV.

♦ 1567. Trouver les équations de la trace d*un plan sur l'un des plans coordonnes.

Prenons d'abord le plan des a:, / pour ce plan coordonné , la trace étant formée par les points du plan proposé qui se trouvent sur le plan des j?, ^; en faisant z = o dans l'équation du plan représenté par Aa; -f- B j -h Cz H- D = o, on la rffluira ^ celle de la trace , et l'on aura par conséquent **

ko: -h Bj -h D .= o , équation de la trace sur le plan des x^ y.

3^6 THEORIE Des SURFACKS DU SECOND ORDRE.

£n faisant successivement j: r= o et / = o , on aura de même

B^ -h Ca -f- D = G , équation de la trace sur le plan des y y z ; AjX 4- Cz -f- D = o , équation de la trace sur le plan des x^^

P&OBLÀME V.

i568. Trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à l'un des plans coordonnés.

Supposons que ce plan coordonné soit le plan des Xy y^ F ig.ig^. l'équation de la trace BC ( ^. 197) sur le plan des Xyy pourra donc être représentée par y=z ax -{- b. Si Ton prend sur le plan des x, y un point Q , et que ses coordonnées j/, y satisfassent à cette équation, ce point sera sur la trace; élevons en ce point une ordonnée QM = z , cette ordonnée se confondra avec le plan , et par conséquent , quelque valeur qu'on lui donne , elle déterminera toujours un point qui appartiendra au plan : on voit donc que, dans ce cas, x eX.y . sont liés entre eux par Téquation de la trace du plan BD , et que z est arbitraire.

Cette démonstration pouvant s'appliquer aux plans des y.^ z et des «^, a:, on est en droit de condhire que \ équation d'un plan perpendiculaire à l'un des pla^ coordonnés se réduit à celle de sa trace sur ce plan.

3G9., Enfin , si l'on se proposait de trouver Péquation d'un plan perpendiculaire au plan des-r, y, et passant -par l'origine, la constante b serait nulle, et l'équation se réduirait ky= ax.

Ceci s'applique encore aux autres plans coordonnés.

Théorème.

S70. Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, la projecUon de cette droite sur l'un des plans coordonnés est perpendiculaire à la trace du plan sur le plan coordonné,

Fig. 198. Pour le démontrer, soient (^^. 198) MN le plan coo?:-