A = A'D, B = B'D, C = CD

et l'éc^uation du plan deviendra

Mx H- B'j -f- C'is -h I = o.

En effet , en divisant ces équations par D , et faisant — = A',

~ = B', -r = C, on aura trois équations pour déterminer les.

inconnues A', B', C ; on pourra donc , en éliminant deux de

ces inconnues, obtenir A'= f {xf^y^ z' ; sel' ^y'\ z" ; x"', /" , ^)y

c'est-àfdire -- = y (4/, etc. ) , et faisant f [x\ etc. ) = A', on

obtiendra A = A'D. On déterminera de même lès valeurs- de B

et de C.

Problème VII.

2S7S. Trouver la coadition nécessaire pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan»

Soient x = az -\- a^ . , . (468) |

) les équations de la droite.

Ax H-B^-|-CzH-P=:o l'équation du plan.

En faisant j-= o, on aura (art. 867), pour l'équation de la trace sur le plan des x^ z,

A . r- . r^ Ar B Ar-hCz-hD=o, ou z = ■-...

Cl Vi

Cette équation (art. 870 ) doit être celle d'une perpendiculaire à la projection sur le plan des x, z. L'équation (468) , qui est celle de cette projection , donne

Or, pour qu'elle soit celle d'une perpendiculaire à la droite

dont l'équation est

Aa? D

il faut (art. 259 ) que le coefficient de x de* Tune soit égal à.

' l'unité divisée par le coefficient de x de l'autre, pris avec un

A signe contraire , c'est-à-dire que — - = ûi , et qu'on ait par con-

séquent A = ^G.

On trouverait de même, en comparant l'équation (469) à l'équation de la trace sur le plan des /, s , qu'on doit avoir pour la seconde condition B = ^ G.

PROBLÈMES sua LE PLAK. 379^,

Problème VIII.

I575". Un point 4?', ^, z' étant donné sur un plan , twouver lacondition nécessaire pour qu'une droite soit perpendiculaire en cepoifità ce plan.

Soient toujours a? = «« -h a ,

\ les équations de la drhite y

jrz=az-^P^

et Aj: H-By-f-C5H-D=i:o celle du plan ;

le point a/, jr', z' étant sur le plan, on aura

Ax' H- B/ -4- Cz' -4- D = o ; ^ (470)

éliminant D entre ces équations, on^ obtiendra

et comme on a démontré (art. ^72) qu'on avait

A = ûC, B = èC,

en substituant ces valeurs dans Téquation (47 1 ) > cette équation deviendra

«(x — x')C-h^(7— j-')C4-C(z~z')=:a; et en supprimant le facteur commun , il restera

a(^~-j/)H-^(jr — y)-+-(2 — z') = o. ..(472)

Problème IX.

iJ74. Trouver la condition nécessaire pour qu'une droite soit parallèle à un plan.

Soient a? = aa + a, \

\ les équations de la droite,

y=,bz-hp, ) et Ao; -h bJ^ -h Cz 4- D celle du plan.

Si par Torigine on fait passer une droite et un plan parallèles respectivement à la droite et au plan donnés , les équations de cette droite menée par Torigine seront représentées par

X •= az^ y :=^ bz y ^t celle du plan par

,:>.', Ax "î- Bx + Cz = o.

Cette droite et le plan ayant un point commun qui est l'origine, doivent coïncider à cause de la condition du parallélisme.

Les coordonnées x et / de la droite devront donc , dans tous les cas, satisfaire à l'équation du plan. £n les substituant dans cette équsttion , il viendra

* kaz -h Bôz -i- Cz := o ;

et en divisant par z, on aura pour la condition, demandée

Aa^+ Bft H- .C =r* o.

Problème X.

157 S. Trouver les conditions nécessaires pour que deux plans soient parallèles.

Soient A^ -h Bj H- Cs -t- D = o , \ les équations de k'x-^ B'/'-h C'z-h D' = o, y ces plans.

Les traces des deux plans sur l'un quelconque des plans coordonnés seront parallèles, autrement les plans proposés s'atteindraient. Les équations de ces traces sur le plan des Xy z se déduisent de celles des pl^ns (art. 367), et sont

La condition pour que ces traces soient parallèles sera donc

P^ROBLÀMES SUR LE PLAN. ' 38l

Ed considérant les deux autres plans coordonnés , on trouve-* rait de même ces autres conditions':

Problème XI.

876. JÇar un point donné oc' ^ y', z\ ayant mené une perpen^ diculairc à un plan , trouver la portion de cette perpendiculaire, qui est comprise entre le point a/ y y\ z', et le plan.

Soient (art. 548 et 564 )

, ,, ,\ /f A i les équations de la droite.

Kx H- Bjr -h C2 -I- J) == o , . (475) l'équation du plan.

Si nous regardons les coordonnées x^ y^z comme les mêmes dans ces équations , ce sera admettre que ces coordonnées appartiennent au point d'intersection.

Cela posé, les équations (473) et (474) nous donnent

Multipliant la première de ces équations par A, et l'autre parB, nous aurons les valeurs des termes Ax et By de l'équation (47 5), que nous substituerons dans cette équation , et nous obtiendrons

(Aûr-f-B^)(z~-z')H-C5;-f-A^^-B/-hD:r=o; ou (Aa-f-B^-+-C)(«— z')-h'A:c'-f-B/-f-Ga'-f-D=o;

d'où nous tirerons

(Ax'-f-B/-f-C/-l-D)

Aa^~Bb-^C

Substituant dans celte expression les valeurs de a et de 6 données parles équations Jfr:= aC , B=^C, qui ont lieu (art. 572), parce que la droite est perpendiculaire au plan, n6us ob-

tiendrons

(AAr^-4>Brf-hCg^-f-D)

1 hC

Cette valeur et «elles de a et de 6 étant mises dans les équations (4 7 ^ ) et (47 4 ) 9 iious aurons

Au moyen de ces valeurs , l'expression de la distance de deux points (art. 5^4 )

deviendra

{kx' -h B/ + Çg^ -H D)' Ax'-^Bf H- Çg' •+• D

A»-4-B'-+-C» ~ v^Â\Tb»TC*

et exprimera la distance du point d*intersection au point j/,

PROBLÂMC XU.

i577 . Trouver l ^ angle formé par deux plans .

On sait que si d'un point quelconque, pris hors de ces plans, on leur mène deux perpendiculaires, l'angle de ces perpendiculaires sera le même que celui des plans (*)>

, (*) Pour le démontrer, soient les plans aBet CD(^. 199) sur lesquels dh abaisse d^un peint M les deux perpeadiculftiref MP, MQ. Si