PROBLÈMES SUR LE PLAN
Cela posé, soient
X zrz az -^ ay x = a'z -4- a',
les équations de deux droites. Pour que la première soit per-* pendiculaire au plan qui a pour équation
Ax H» Bj H- Ca + D = o,
il faut (art. 572) qu'on ait
A = aC, B = ^C.
Pour que la seconde soit perpendiculaire au plan qui a pour
équation
A'ar 4- B'y 4- C'z = D' = o ,
il faut qu'on ait
A' = fl'C, B' = b'C,
Si, au moyen de ces équations on élimine a^ a*, b et 6^, dans Pexpression (464 ) du cosinus de l'angle formé par ces droites (art. K^T ) , que nous appellerons 7, on treavera
AA' 4- BB' -f- ce
cos 9 = ■ ' , ■ ■ j expression
^A} -H B^ 4- C» VA" 4- B'» 4- Cf^ du cosinus de l'angle formé par deux plans qui ont pour
par ces perpendiculaires on mène un flan MPOQ , ce plan sera donc perpendiculaire à chacun des plans AB , CD ; par conséquent , la commune section AD de ces plans sera perpendiculaire au plan MPOQ. Réciproquement leâ traces QO, OP seront perpendiculaires à Ob, et Pangle QOP mesurera rinclinaison des plaj^s : or 1^ angles LMP et POQ sont égaux , car la somme des quatre angles du quadrilatère T^|ant quatre angles droits, comme les angles en P et en Q sont droits , en Tes retranchant de celte somme, il restera
POQ V PMQ = a angl^'Ofoits.
Donc POQ = LMP; c'est-à-dire queJ'^glc qui «mesure l'inclinaison des plans est égal à celui qui est formé par les perpendiculaires.
équations *
A:c-hBrH-C3;4-D=o, AV-f-B'jr -h C'a H- D' = o.
1578. Si les plans sont perpendiculaires , l'angle (p devenant droit', le cosinus 9 s'évanouit, et Ton a
AA' + BB' -h ce = 0.
Enfin , si le plan dont l'équation est
représente le plan des Xy j, cette équation, se réduit à z := o ; car réquation d'un plan perpendiculaire à l'axe des z éfsuit z = constante , devient z = o , lorsque lé plan coïncide avec le plan des x^y. En comparant l'équation 3=0 avec l'équation
k'x V B> -h C'z -h D' = o , on voit que
A'=0, B'==0, C'=I, D'rrrO.
Substituant ces trois pi*emières valeurs dans l'expression de cos f , et appelant 7 ce que devient ^ dans cette nouvelle hypothèse, on trouve
" COS 7 = , , expression du cosinus
de l 'angle que le plan, dont l'équation est Ax -|- Bj+ Cz H- D , forme avec Je plan des x ^y,
Si'l'on appelle 6 et a les angles que le plan forme avec les plans des a: , z et d,es / , 5 , on trouverait de même
COS 6 = * , cos a =
V^A* + B* -f- C^ Va' -h B^ -f- C^
579. Soient a', p', 7' les angles qu'un second plan forme avec les plans cocîrdonn^sf Si dans . l'expression de cos ^ de
PROBtÈMES SUR LE PLAN. 385
l'art. 077 , on fait la même transformatioii qu6 dans Tait, tttf 9 , on trouyera
CCS f == CCS à ces a' -f- côs p ces ^' + CCS ^ ces 7', expression du cosinus de l'angle de deux plans en fonction des cosinus deces plans avec les plans coordonnés.
PRëBLÈMB XIII:
580. Trouver l'angle /orme par une droite et un plan* Soient j: = as + a ,
Ax -f- B^ H- Ci H- D == o , fe* équations de lu droite et celle du plan.
Représentons cette droite par PQ [Jlg, 7.60) \ sa projection Fig.aoo. sur le plan MN sera PR, et Fangle QPR mesurera l'inclinaison de la droite sur le plan ; et puisque QR est perpendiculaire sur le plan MN, cette droite QR sera inclinée sur celui des x^ y^ ei aura des équations de même forme que celles dePQ, mais qui en différeront par les constantes 9 que nous ^centuerons pour les distinguer des autres, de sorte que nous aurons
. ^ û/ I » équations de la droite QR.
Cette droite étant perfyendiculaire au plan , on aura (art. tf7S)
Arrru'C, B = ^'C.
Mettant les valeurs de a' et de 6' données par ces équations dans ^expression (464) du cosinus de Taùgle PQR, que ces droites forment entre elles (art. ^Éi) , on trouvera
Aa -h B^ H- C
Vi 4- «»-h^' v^A'-+-B'-î-C'
386 THEORIE DES SÙEFACES DU SECOND OàDÏiE.
pour Texpression du cosinus de Tan^ PQR ou du sinus de Tangle QPR formé par la droite avec le plan.
Si la droite PQ devient parallèle au plan , le sinus de j'angle QPR est nul , et l'expression précédente se réduit a A^ï-hBè-HC = o.
, Problème XIV.
