Trouver Véquation de l'intersection de deux plant

Soient

Ax-HB/-hCz4-D = o, A'x -4- B^ 4- C'a + D' = o tes

équations de ces plans.

Les coordonnées seront les mêmes pour tous les points de la commune section ; on peut donc éliminer successivement l'une des variables, par exemple y y et ensuite x^ et Ton aura des équations que nous pourrons représenter par

Ces équations appartiendront à une ligne droite qui sera la commune section des plans.

Problème XV.

588. Trouiftr la plus courte distance de deUx droites situées dans Tenace,

Prenons Tune do ces droites pour Taxe des 5; par un point M de cet Fig. 301.' axe AZ (Jig, aoi) , menons la droi^ arbitraire MN sur Fautre droite BC. Si MN ne coupait pas BC à angle droit, on pourrait abaisser du point M une perpendiculaire MF qui serait toujours plus courte que MN, ce qui est contre Thypothèse. La ligne la plus courte doit donc être perpendiculaire à BC ; on prouTerait de Aièkne qu'elle doit être perpendiculaire à AZ.

Fig.202. ^^'^ posé, soit MN (fg, aoa) cette plus courte distance; et au paint N , menons une parallèle NN' à AZ ; MN étant , par hypothèse, perpendiculaire aux droites CB et AZ, doit Tètre aussi à la paraHôle NN' à cette dernière, ainsi qu'eau plan CNN' formé par les droites CB,NN'. Ce plan CNN', qui contient une parallèle à AZ, estper-

DE LA SPHBRE. 887

pendiculaire au plan des x^jr^ et sa trace est la projection de la droite GB, puisque cette trace est le lien de toutes les perpendiculaires abaissées des diiTérents points de GB. Or, si Ton mène par Porigine A une perpendiculaire AG à la trace DE, cette droite A6, qui se trouve dans le plan des r,^, sera donc aussi perpendiculaire au plan D£BG; ainsi nous ayons deux peipendiculaires AG, MN qui sont abaissées sur le plan DEBG de deux différents points d*ane parallèle AM à ce plan ; donc 068 perpendiculaires sont égales.

Soit r = Ax-f-fi Féquation de la projection DE» Pangle AFH est celui dont la tangente est A; or, dans les triangles rectangles HAG, HAF, on voit que Fangle AHG est complément de F et de HAG j donc AHG = F; par conséquent AG = AHcosHAG; on aura donc AG= AH bos F. Pour déterminer cos F, nous avons

tangF=A; donc séc F = v^i-+-A' et cosF =-===.•

An moyen de cette dernière valeur, Texpression de AG deviendra