CHAPITRE VII

De la sphère.

nos. Soient a , b y c les coordonnées da centre O de la sphère ( Jîg. 2o3 ) , et a? , j, z celles d'un point M de 1^ F»0- 2o3. surface , la distance OM sera déterminée (art. W4 ) par l'équation (46o)

^x -.ay-i^ix — hy -h («•—<)' = OM»;

et comme , d*après la nature de la sphère , la distance OM est constante , si nous désignons cette distance par r, nous aurons donc f pour Féquation de la sphère ,

(x — «)^-h{r — ^)'4-(z— c)»=r». . .,(476) 584. Si l'origine des coordonnées est au centre de la sphère ^

on aura

et l'équation (476) se réduira à

Après avoir chmsi Tun des plans coordonnés pour celui des x,x, si Ton prend la variable z égale à une constante c , la sphère sera coupée par un plan parallèle à celui des a: , y. Cette équation deviendra

X* 4- JT^ -f- v'^ = r^'y

mise sous cette forme

elle exprimera celle d'une courbe tracée sur le plaii sécant; et Ton voit que cette courbe sera un cercle dont le rayon r' aura

pour expression sjr'^ — c^. Ce rayon sera toujours moindre que r, puisque son carré r'^ est exprimé par r* — c% et Ton voit que ce rayon ne pourra surpasser r; car, dans cette hypothèse v/r' — c^ deviendrait une quantité imaginaire.

K85. Si nous prenons le centre de la sphère pour origine des coordonnées , et que nous menions un rayon au point j/, x'y z'y comme ce rayon passe aussi par le centre , dont les

coordonnées sont nulles , en faisant x" = o , j^" =± o, «"■=: o dans les formules (4M)> ^^ trouvera , pour les* équations du rayon de la sphère dont le centre est à l'origine des coordonnées ,

nous avons vu que les équations d'une droite dans l'espace sont 9 en général,

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mais, dans le cas présent, cette droite n'étant autre chose qu'un rayon qui passe par le centre, ses équations se réduisent à

et, comparées aux équations (47 8) » nows donnent

et comme cette droite assujettie à passer par un point ^', ^', z' est perpendiculaire à un plan , on a la relation (art. ^75 )

ii(jr — x') H-^(7-— j') + a--3' = o. . . (48o)

Les valeurs de a et de ^ données par l'équation (479) ' ^^"^ mises dans l'équation (48o) , on obtient

^ (jr -^ x') 4- -^ ( r — y ) + z — z'= o ; z z

chassant le dénominateur, il reste

développant et remplaçant la somme des carrés des variables par /-*, on trouve

£x -h y' X -^ z'zz= r"^.

D'une autre part , (j'après la nature de la sphère , nous avons entre les mêmes coordonnées cette équation

d'où il suit que, pour déterminer les trois cx)ordonnées j/,^,»' du point de contact , nous n*avons que deux équations ; par conséquent , le problème de déterminer ce point de^ntact restant indéterminé , on peut faire passer une infinité dé plana par ce point.

390 THÉOEIE DSS SÛ&VACBS DU SCCOND ORDRE.