CHAPITRE VIII

De VelUpsoïde.

886. La sphère n*est qu'un cas particulier d'une autrç surface connue sous le nom d'ellipsoïde, et dont la solution du problème suivant va nous faire obtenir l'équation : Étant FiQ.^o^. iionnés trois axes rectangulaires AX, AY, AZ (fig» 2o4)» déterminer la surface, courbe qui étant rapportée à ces axes donne, pour les sections faites par les plans coordonnés, des sections elliptiques dont les axes principaux soient les axes^. coordonnés, et qui donne, pour toutes les sections perpendiculaires à l'un de ces axes coordonnés, des sections elliptiques dont les axes principaux soient parallèles aux deux autres axes coordonnés.

Pour obtenir la solution de ce problème , menons par uii point M de la surface courbe une perpendiculaire MP sur le plan des x, /, et PI parallèle à Taxe AX; les coordonnées da point M seront

AI = jr, IP = ^, 'PM = ^.

Gela posé , menons par le point M un plan GMK parallèle au plan des â;, j*. Ce point M sera sur la courbe GMK , qui par hypothèse est une ellipse, et tous les points de cette ellipse auront pour ordonnée , dans le sens de Vsûl^Az , une ordonaéç 1 constante z == AO.

Les équations des sections DGO, DRO appartenant, par h jpothèsç y à des ellipses , la première subsistera entre x e^z, et la seconde entre ^ et s, et en les représentsmt de la sorte

fl[»Z»

srr

av.

elles donneront

;r»=r-(c' -?'}.. r-jA'^-^')-

DE L*ELLI»8mDB. 3qi

Ces yaleurs de x" et de jr^ deviennent {fig. 204) OG* et OK» Fi(r,2o4. lorsque nous prenons s == MP ou OA. Nous aurons donc , dans cette hypothèse de z ,

OG» = ^;{pi~z'), 0K~~(.^-;,'). . . (48,)

Hais la courbe RMG, qui résulte de la section faite au point M par un plan parallèle à celui des x , j-, est , par hypothèse , une ellipse qui a OG et OK pour denû-axes. Par conséquent on fiura, d'après la nature de Fellipse (art. S68) ,

OK^a:« -I- OQ\y^ = OG» X OK»;

et , en divisant par OG» X OK», il restera