OG» OR

Substituant les valeurs de OG» et de OK» fournies par les équations ( 48 1 ) , on obtiendra

multipliant les deux'termes du premier nwmbre par c», on aura

et , en multipliant ensuite tons les termes de Péquation par a»6»,

on trouvera

faisant évanouir le dénominateur, on obtiendra

b^c^x" H- «»c'^^= ab^c^ — a^b^z" ; et, en faisant passer le terme en 2» dans le premier membre, il

393 THÉORIE DES SUAVàCBS DU SSCOflO ORDRE.

restera

Telle sera l'éqiiation de là surface courbe appelée ellipsoïde.

S87. Si pour simplifier nous remplaçons les produits constants par les lettres L , M , N , P, Téquation de rellipsoïde prendra cette forme y

U:' -4- Mjr» + Nz' = P. . , . . . , (483)

et renfermera les mêmes propriétés que réqqafion (4S2), pourvu qu*on regarde L , M, N et P comme des quantités essentiellement positives ; condition qui résulte de la nature des coefficients de x*y de jr' et dp z% qui sont des carrés. Faisons donc abstraction de Téquation (482) , et , analysant Fellipsoïde diaprés l'équation (483), c]iercboi^ d'abord les traces de Fellipsoïde sur chacun des plans coordonnés. Pour cela , il suffit d^ faire ^ccessivement, daqs i*-équatio^ (483) ,

Z = 0, ^';=:0, x = o, ce qui donne

I*r' 4- M^* == P. . . (484)» équat. de la trace sur le plan des ^r, j . Mj^+ Nz' = P... (485), équat. de la trace sur le plan des y^ z, Lj:* h- Nz' = p.. . (466)9 équat. de la trace sur le plan des x, z,

^88. On appellfi ces traces les sections principales de la surface,

589. I%s équations (484)» (485) et (486) montrent que ce$ traces sont des ellipses.

Coupons ensuite la surface par un plan parallèle au plan des j:, /, l'équation de ce plan, eiî désignant par 7 ime constante , sera (art. 365 )

^i etitrç cette éqviation et celle de la surface on élimine z , on

AE L'EtUPSOJtPB. 3g3

auTa , pour Téquation de Fintersecnon de& deux surfaces ,

ou plutôt Ljr^ -h Mj-' = P — N7' ', , (I87)

On voit que cette équation sera celle d'une ellipse tant qu'on donnera à 7 une valeur assez petite pour que P — N7' reste positif.

590. On peut même déterminer les axes de cette ellipse formée par la section d'un plan parallèle à celui des .r , j ; car, en divisant les deux termes de Téqu^^tiop (487) par P — ]N7% on \a^ mettra 9011s. ççtte formée

et y en observant que L , M , N et P sont des quantités essentiellement positives, et que les dénominateurs du premier membre doivent être de deux dimensions, on aura, pour déterminer les demi-axes représentés par a et par b ,

P— N7.» ,, P — Ny*- L ' M ,

et l'on voit qu'à mesure qu'on écartera le plan sécant de celui des Xy y^ les parties négatives des valeurs de à^ et de b"^ s'accroissant, les demi-axes a el b diminuent Jusqu'à ce que ^7^ atteigne P, cas où l'ellipse étant réduite à un point , le plan sécant devient un plan tangent ; mais si le plan sécant continue à s'écarter de celui des x , j^, il n'y a plus d'intersection, puisqc^ç l'équation (487) se réduit à

Lj?' + My* =: quantité négative ;

équation absurde , parce que (art. «*>87 ) , L et M sont essen-^ tiellement positifs.

3g4 THÉORIE DES SUEVACES DU SECoko ORDRE.

IS9I. En faisant ensuite successivement. « =: a , ^ =r 6 dans Véquation (483)9 on trouvera de même les équations des inter^tionspar des plans parallèles au plan des j*» z et des Xj z ; et 1 on* prouvera 9 comme dans Tarticle précédent, que ce$ sections sont des ellipses.

^2. Pour déterminer les axes principaux de l'ellipse, qui est la trace dç rellipsoîde sur le plan x^y, on fera successivement ^ = o et x := o 9 dans l'équation

qui, ainsi qu'on l'a vu art. 1(87, est celle de la trace sur le plan des Xy y\ et, en représentant par AB et par AG Fig.204. (A^* 204 ) ce que deviennent dans ces hypothèses x et j*, on trouvera

^=vl' ^^=\/|-

Au moyen de ces valeurs des demi-^axes principaux , il sera facUe de décrire l'ellipse qui est la trace de la surface sur le plan des x ^ y.

On construira de même les ellipses qui sont les traces de la surface sur les plans des or, 2; et des 7, z ; puisque les équations (485) et (486) donnent

AB=y/?, AD=y/|, et ag=y/s' ^=V^'

pour les demi'Qxes principaux de ces ellipses.

Si Ton ne considère que la portion de la surface comprise dans l'angle solide où les coordonnées sont positives, les traces sur les plans des x , y^ des ^ , « , des y^ z seront repré- Fi{;.ao5. sentées [fig. 2o5) par les arcs elliptiques BEC, BFD , CGD.

Toutes les sections de la surface par les plans paraUèles aux plans coordonnés peuvent maintenant se déterminer fecilement.

DE l'ellipsojîde. 3çfi

Par exemple , si l'on donne l'abscisse AP, et qu^on demande la section faite par un plan parallèle au plan des ^, z, et qui coupe l'axe des j? en P , on mènera par le point P des parallèles PC et PD' aux axes AY et AZ, et alors PC et PD' seront les demi-axes de Fellipse qui forme cette section : le quart de cette ellipse est représenté par CG'D'.

Les traces de l'ellipsoïde sur l'un des plans coordonnés^ contenant tous les points de la surface qui sont dans ce plan , il en résulte que si l'un des deux axes situés dans ce plan doit rencontrer la surface, cette rencontre aura lieu aux points qui sont communs à la trace et à Taxe. Les droites 2AB, 2 AC, 2 AD sont donc les parties des axes principaux, interceptées par la surface : c'est pourquoi on les appelle les axes principaux de Vettipsoïde.

^95. Pour remonter aux valeurs des axes principaux de Tel • lipsoïde au moyen de l'équation (433) , il suffit de faire successivement deux des coor^pnnées nulles dans cette équation, et en nommant a^by cce que deviennent dans ces hypothèses x , jTyZy on trouvera

en élevant ces équations au carré , elles donnent

(**) Obserrons que ces équations résultent immédiatement de Thypo- Ihèse de Fart. 587, par laquelle Téquation (483) remplace l'équation (483) ; car nous avons alors

et , en divisant successivement la dernière équation par les autres , nous, obtenons