L' M' "^ JN

équations qui sont les mêmes que les équations (^98).

396 THÉORIE DBS SURVACIS DU SECOND ORDRE.

Substituant ces valeur» dans Téquation (483) de TellipsoîcU: , réduisant au mémo dénomihateur et supprimant le factear commun P, on retombera sur

b^c^x' -h «V^» -+• fl'^'z* = a'b^ç\ .... (489) équation de Veltipsoïde rapportée à ses axes principaux,

^94. Pour avoir la section de l'équation d'un plan qui passe par Taxe des z, ce plan étant perpendiculaire au plan des x^jr^ son équation se réduit (art. IS68 ) à celle de sa trace AC F!g.2o6. ifig' 206) sur le plan des i?^ j. Si Ton nomme donc 7 l'angle XAG, l'équation de cette trace sera (art. 907 et 208)

y := X tang ^ ;

en éliminant y entre cette équation et Péquation (4^2) ^^ Tellipsoîde, on aura pour celle de la section

^Vx' -:|- flV tang*ç.;r' H- a^bH^ = a^b^c^»)

Fiff. 307, On voit {fig. 207 ) que chaque point M de la section est déterminé au moyen des coordonnées AP = or et QM =; z ; mais comme en employant ce système de coordonnées on a le désavantage de n'avpir pas l'abscisse x dans le plan de la section, nous changerons l'axe AX en un autre axe AG, en prenant une nouvelle abscisse AQ =: r, et nous aurons entre ces coordonnées la relation

AP = AQ cos ep , ou X = r cos ç ;

et, observant que tang (p cos (p = sin (p , il viendra

(^V cos » (p 4- ûV sin ' ^ ) r' -H «'^ V = a^b^cK

696, Si a = b^ cette équation se réduit à

Cette équation étant indépendante de l'angle f , on doit

DE l'ellipsoïde. 3^*]

CbUcluVe que lorsque a = b^ la section est toujours la même ,

et que , par conséquent, la surface peut s'engendrer en faîsalat

tourner autour de Taxe des z une ellipse qui aurait pour

équation

c*r» + fl'2« = flV (491)

596. En général, toute surface courbe engendrée par la révolnlion d'un arc de courbe autour d'un axe fixe, est ce qu'on appelle une surface de révolution.

En faisant donc a^= h dans Féquation (489)9 on aura pour réquation de rellipsoïde de révolution

c'(a:' -+- ^'=^)-Hfl'z-=3^r* (49^)

597. Un des caractères des surfaces de révolution est qu'on obtient des cercles pour toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe z de révolution ; ainsi , dans le cas présent, si Ton éliminez entre l'équation (49^) 6t l'équation z = ^, qui est celle d'un plan parallèle au plan des x, ^, on trouve effectivement que la section parallèle au plan des x , y est un cercle qui a pour équation

^___fi'{c'--y')

598. L'ellipsoïde porte le nom ^ellipsoïde allongé^ loi^sque la révolution se fait autour du grand axe, et à^ ellipsoïde aplati, lorsque la révolution se fait autour du petit axe.,

599. Enfin , si les trois axes sont égatix , l'équation (489) de l'ellipsoïde se réduit à

Il est facile de reconnaître , dans cette équation , celle de la sphère (art. 584). Dans ce cas les demi-a\^ a , b ^ c étant égaux , l'équation (490) de la section qui passe par l'axe des z (art. 595 ) devient <

898 THÉORIE DES ÀUaFACES DU SECOND ORDRE.

et cQmhue elle est celle d'an cercle dont le r^yon est a , il en résulte qne la surface peut être décrite par une demi-circonférence qui tournerait autour de son diamètre ; ce qui montre y d'une seconde manière , que la surface est une sphère.

600. On peut trouver à priori la surface de rellipsoîde de révolution autour de Tun des axes de la manière suivante : tig.ao3. Soient i, j*, z (Jig. 208) les coordonnées AP, PQ, QM d'un point M pris arbitrairement sur Tellipsoîde de révolution.

Par ce point M et par l'axe des z, qu'on suppose être l'axe de révolution , menons un plan qui coupera Tellipsoîde suivant DME. La courbe DME , située dans le plan sécant y étant rapportée aux axes 2 A£ , 2 AD, si nous représentons les coordonnées AQ et QM par r et par z, comme cette courbe DME est une ellipse, il y aura (art. 86^) entre les 'coordonnées r et z la relation suivante :

AD^^^-hAE^z'=r AD^AE';

et , en mettant pour r^ sa valeur j:'-H ^% donnée par la propriété du triangle rectangle APQ situé dans le plan des x, j, on aura

AD»(^^- j') + AE^s' = AD'.AE^:

or, l'ellipsoïde étant de révolution , on a

AE = ABi

Substituant cette valeur datis l'équation précédente , et nommant'AB, a y AD , Cy nous aurons pour l'équation de l'elljpsoïde de révolution

601; Lorsque l'un des coefficients L, M, N de l'équation (483) est nul , et qu'on a , par exemple , N = o , cette équation se réduit à celle d'une ellipse représentée par

La-' + Mj» = P. ........ (493)

DE L*ÈLiipsoÏDE. Sggf

Tout point de la^ surface sera éone assujetti à avoir son or-^ donnée s sur Tun des points d^une ellipse située sur le plan desxy jTj etdont^zret jr seront les coordonnées. Pourvu que cette condition soit remplie, z sera arbitraire ; par conséquent , en élevant de tous les points de cette ellipse des ordonnées z y qui passeront par tous les degrés de grandeurs, ces ordonnées appartiendront toujours à la surface ; cette surface sera donc un cylindre.

60tt. S L = M , la base de ce cylindre est un cercle, puis* qu'alors l'équation (49^) devient