CHAPITRE IX

De Vhypefboloïde à une iiappe.

604. Étant donnés, comibe dans l'ellipsoïde , trois axes rectangulaires AX , AY, AZ , Thyperboloïde à une nappe est ube courbe qui jouit des propriétés suivantes :

i** Un seul des trois axes coordonnés ne rencontfe pas la' surface; tP toutes les sectionss perpendiculaires à cet axe sont des ellipses ; 3^ ces ellipses ont leurs centres situés sur cet axe, et leurs axes principaux parallèles aux deux autres axet coordonnés ; 4** les deux sections principales menées par l'axe qui ne rencontre pas la surface y sont des hyperboles dont l'axe principal imaginaire est celui qui leur est commun y et dont le centre est à l^origine.

tig.209. ' Prenons (J!g, 209) Taxe des « pour celui qui ne rencontre pas la surface ; on voit , d'après la quatrième condition , que les hyperboles EB^% DCD\ données par les sections des plans des :r , z et des f^z^ ont deft équations des formes suivantes

c^x' — lï'x^ = a^c\ c»7= — b^z' = b'c\ . . . (494)

Fig.ao^. £a considérant lih point M de ^ surface (J^g* 209), dont la coordonnée z soit représentée par QM?^ AO, et en menant par le point 0 un plan parallèle au plan des x, j, l'intersection de la surface , par ce plan sera Peilipse MENF ; les carrés des demiaxes principaux de cette ellipse seront (comme dans l'art. ^BC) lès valeurs que prendront x^ et x^ ^^^^^ les^ équations (494) pour une mémo ordonnée AO ^^z; on aura donc

ÔG^ = ~ (c' + z') , OE» = -^ {c' H- z*) .

Les ordonnées a: et / devant appartenir à une ellipse qui aurait OG et OE pour ses demi-diamètres (art. 1S86 ) ^ il existera