DE L^HTPERBOLOIDE A ONE NAPPE
(art. 262) entre ces quantités la relation et y en divisant par le second metnbre ,
mettant dans cette équation les valeurs de 0£' et de 0G% et chassant les dénominateurs , on trouvera
ÔV -f- a^c^jr^ — a^ôV = a^b^c^y équation de Vhyperboloïde à une nappe, •
•Reproduisant ici 4a remarquq^de Tarticle 387, par laquelle il est constaté que les constantes qui entrent dans cette équation étant des produits des carres sont nécessairement positives y nous devons i:egarder comme telles les quantités L , M , N, Py qui les remplaceront, dans cette éauation plus simple,
,. *" La?^-4-M^»-r-N2'=P. . /. . . . (495)
Surcoupant cette surface par les plans parallèles aux trois plans coordonnés, et en nommant a , 6, 7 les valeurs des variables x, y^Zy lorsqu'elles deviennent constantes, on aura
M/' — Nz* = P — La'... (496)? ^^^'» porallèle a^plan Ses / , z , La?* — N^* = P — M6 ^ . . (497)5 ^^^^- parallèle au plan des-x^ z , JjX^ -4- M/'rr P -h N7'. . . (498), sect, parallèle auptttn des x , y.
Les équations (496) et ($97) appartiennent à des hyperboles qui, lorsqu^on fait , dans la première , a = o , et ensuite 6 = 0, dans 4a seconde, deviennent les sections principales formées par les plans des /, z et des jr , z.
6(MS. Les équatioQS de ces sections sont dpnc
Mr*~Nz' = P, -(499)
Lj7' -— Nz' =r P ; (5oo)
402 THÉORIE nF.S SURFACES DU SECOND ORDftE.
l'équî^tion (5oo) noiii donne .
lorsqu'on y fait j: = o, on troure » imaginaire ; mais lorsqu'on y fait z :at o , on trouve
/p X = iV/ 7 pour V abscisse de la plus
petite abscisse.
Toute valeur d^x plus grande, prise positivemétit ou négativement, correspondra k une ordonnée réelfe; donc la section faite par le plan des j% z a la forndë qtie nous lui dop- Fig.aog. nons [fig. 209).
On trouverait de même que dans la section faite par le plan des y^Zy l'axe des z ne rencontre pa» la courbe.
606. L'équation (498) de la section parallèle au plan des x,/ est celle d'un» ellipse dont les detni-a^es principaux se t»ou« vent , en faisant successivement x=io et y ^=^0 dans cette équation, et Ton obtient
P -f- N7* P + Ny»
La pl6s petke valefir qu'on puisse donner à ces demi-axes est lorsqu'on fait 7^=0; dans ce cas, le plan sécant se confond avec le plan des x^y\ mais en reculant le plan parallèlement à lui-même , soit au-des3vs , soit au-de^ous du plan des x , /, h valeur de 7 '^augmentera continuellement ; par conséquent l'ellipse q«i forme la section sera d'autant pkis grande que le plan sécaut s'écartera davantage du plan des x^y,
607. Pour avoir les points où les axes coordonné» peuvent être coupés par la courbe, on fera successivement, dans l'équation (495),
z=o et jr=T)5 5 = 0 et x=:o; x=.o et y = o\
DE L^ HYPER DOLOÏDB A UKft' NAPPE. ^o3
et Ton troftvep^ *
Taxe des Zy à cause de la racihe imaginaire, qiit entre dans cette dernière équation , est donc le seul qui ne aoit pas coupé par la courbe, ce qui s'accorde av^ ce que nous avons dit (art. 602). Si l'on fait ' *
v/|='" v^=*' Vl-^' .' ■
et qu'au moyen de ces ex|)ressions on élimim^ L ,' M / ?î de l'équation (495) de la surface, en opérant oooime dans IVt. K95 , on retombera sur Téquation
ô'cV -h aV j* -— ii^è*3' = a'6 V. . . (5oi), équation de l'kfperbokMe i une nappe. •
60B. Cour obtenir la sedtion' de cette surface par un pl^n qui passe par l'axé des z^ Têquation de ce plan étant ji=-x tangf , il faudra éliminer y entre- cette équation et la précédente , et Fou obtiendra
(^V ^ ti^c^ tan^' ç)ar' — «^^V = à'h'c*^
mettatit pour x la valeur rcos^ (art. IS94)^ cette équation deviendra
( * V cos * 7 -+- flV sin ' î>) /•• — à^hH^ = d^h^c^j
équation d*nne hyperbole qui, lOrsquot a=^hy se réduit \
<îV' — âl»a' r= «V *(502)
Dans ce cas, toutes les sections qui passent par l'axe , étant indépendantes de l'angle (j>, sont égales, et l'hyperboloïde est alors une surface de révolution.
4o4 THEO&IE B^ Sn&FACES DU SECOND ORDRE.
60Ô . L'hyjferbole, dont une partie est représentéépar MÂMf Fig.aio. i^g' 210 ) , étant le lieu de Féquatîon cV* — a^z^^z a^c% a son axe des z dkigé suivant GZ. Si I'ob fait tourn^ MAM' autour de cet axe , la courbe MAM' décrira un hyperboloïde de révolution ; tout^ les droites , telj^s que mn j /w'/z', ml'n" ^ etc. , dêcnrbnt des cercles qui seront autant de sections de la sur- Tacfe de révolution.
D*après ce qui précède ^ si l'on fait az=zb dans l'équation (5oi), on trouvera , pour celle de l'hyperboloïde de révolution à une nappe*,
610. Cette équation peut encore se trouver, à priori, ^ o'pérant comme dans l'art. 600. • • ♦ *^
En général , toute surface de révolution ;5'ob tiendra par |e inême^procédé ; car, dans ces sortes de surfaces, si Ton nomme r Fig.ao7. ^' ^ ^^ coordonnées AQ et QM {Jig» 207 ]^de«la génératrice, en résolvant l'équation de cette génératrice DG , on* pourra obtenir pour z une certaine fonctioil de r, que nousreprésen • terons par/r, de' sorte» que nous aurons
z =fr.
Substituani, dans cette équation la valeur sjx^ -f- j*' de r, on
aura
, « = ^ (a:' -h j'). . . (5o3), pour Véqtuition
générale des surfaces de réi*olutlon,
.Ge qui précède nous indique que , lorsque l'équation de la génératrice est donnée, il faut changer r^ fen x^-\- ^^ pour obtenir l'équation de fa surface *^ par exemple , dans le cas de l'hyperboloïde de révolution S une nappe, la génératrice étant une hyperbole dans laquelle Taxe z de révolution ne rencontre pas la courbe, on aura, pour l'équation de cette génératrice ,
DE l'hYPERBOLOÏDE A UN« NAPPE. ^o5
oupliUôf z =^±-\/r^T- «'; * t.
on mettra, à la place de r% la valeur x^ -h jkS et Ton ob- ^ . tiendra l'équation de Thyperboloïdelide révolution à une ' *
nappe. * * • • ♦ .
611. Lorsque Fcui des coef%ients qyi affectent las variables se' tTQuve nul «dans ^'équation (4^)y et* gu^opT a , par exemple, N = o, cette équation se réduit à ••«.»**
Il est facile de prouver, comme dans l'art. 601, que la surface devient alors celle d'un cyîinlïre (*) qui aurait pour base *" l'ellipse dont réqusftion est
La» -i-^iy = P,
*Si, ai^^;ontraire^ c'eil L ou lit qui est nul dans Féquatioif (495), cette surfiicC'Cyiindriqije a pour base une hyperbole.
612. Quand le goefficîent iûllr«est P, l'équation (^qS) se réduit à' • • *
• iM' + Ux' — Nz^ ~ o. . . -., . , '. (5o4)
Je vais démontrer que la surface qui est donn^ par cette équation jouit de cette propriété,* que toute droite, menée par l'di'igine à l'un Ûe ses points, se confond daiîs toute son étendue avec cette surface qui , par conséquent , est du genre des surfaces coiyques (**). •
Pour cet effet , les équations d'une droite qui passe par l'o-r rigine étant xr:^ az, yzzz bz, supposons que l'inclinaison de
(*) Une surface cyKodrique est une surface courbe engendrée par le mouvement d^une droite qui raste constamment parallèle à une droite donnée.
(**) Une surface conique est une surface engendrée par le mouvement d^upe àroite qui passe toujours par un même point.
4o6 THéolLZE DE» SURFACES DIT SECOND ORDCE.
cette dr«9ite''soit déterminée ps^x la coq^fion qu'elle akun point > a/ y x^y ^'f cofomuji avec % surftce, ces coordonnées tatisfef ront donc à la fois à T^écliiatioii dé la ligne droite et à celle de
la surface.^ de sorte q^on aura
^ §= a»'f x' = *2j', I>'» -h M r'^-r Nz'^ == o.
Snb^flioqs, dan» la troisi^ft^e ëiIua|ion, les valeqprs de or'' et de* jr' ^^^wées ^r tes premières^, A^ës avoir divisé par z'*^ on t^ti€B<lra •
i^-hMb' ^^ =5), . d'oA Ton tirera
ÉÉ
mettant cette valeur'de^i^ daas Tune des équ^om de la droite^* on aura, pour les équations de c^tte droite ,
Ces valeurs ïex et de,^ appâyrteriài^jL un pofnt q^elcobque de la 4^îte, si oa,l^sçl)stîtue dans l'équation (5o4) et qu'elles y satisfassent, on pottrrasafftrmer que tout points, J'y z, de cette droite , ^t situé sur la ^urfadè dont (5o4) est l'équatioif : ojr c'ost ce qui a lieu ; car en faisaut la substitution indiquée, on tombé surun^ équation identique.
615. Si Ton coupe c^te surface conîquç par ui^ plan parailèleau plan des^, j, Téquation de ^ plan parallèle étant 2=7, il faudra éliminer z entre cette équation et celle de la surface conique, pour obtenir l'équation de 1% section 'qui sera, par conséquent,
I*r» + Mj-^ =5 N7 '.
On peut reconnaître, dans Cette équation , celle d'une ellipse qui est indépêmdante du signe de 7 ; par conséquent , les section»
DB l'hYPERBOLOÎDE A UNE NAPPE. ^OH
faites à des distances égales au-dessus et au-dessous du plan de^XjjTy sont des ellipses équivalentes , et comme ces ellipses vont toujé>urs en croissant depuit zéro jusqu'à l'infini , à mesure qu'on écarte le plan sécant du plan des ^ , 7, on voit qj^e cette ' sur%ce conique se compose de éeux cônes elliptiques opposés par le sommet.
6i4. Cette sw£iQ^ conique est asymptotique à la surface csurbe, c'est-à-dire ne pourrait l'atteindre qu'en supposs^t 7 infini.
Pour démontrer cette propriété ^ faisons 2 = 7 dans les équations (49^) ^^ (^^4)' ^^^^ aurons, pour les équations des sections elliptique» faites par le même plan»
Ljf» "h My = P -h Ny % haf-h Mj' = N7'. . , . (5o6)
Or, si. un point était commun à ces deux ellipses {*)y il faudrait que les coordonnées j? et j^ de ce point satisfissent à ces d'eux équations^ et que, dans ce cas, leurs premiers membres -fussent égaux , ce qui nécessiterait Tégalité des seconds , d'où l'on tirerait l'équation
., P-l-N7^ = 1*7% "ou ^ + 1=1, ••
équation qui jiê cesse d'être absurde que lorsque 7 est infini. •
011$. Enfin, si dans l'équation (5b4) on avait M = 1^, la surface jcoQique asymptotique serait un double cône à base circulaire. , *
(*) Si en égalant succe^sivemfinto: et j' à zéro, on détermine les axea pr iacipRuz <ie ces «llip^es, et ensuite leurs surfaces au moyen de la formule ^nah (art. $88) , on trouvera que la dilTércnce de ces surfaces e«t égale à
et que par conséquent elle est indépendante de y : or, les surfaces de. ces ellipses s''augmentant à mesure (^e le plan sécant sVloigne du plan des;r, y, pour que Texeès de la plus grande sur la plus petite reste le même , il faut que la courbe intérieure s^approche de Tautre.
4o8 THEORIE DES SURFACES DU SECOND ORDRE.
