CHAPITRE X

De rhyperholoïde à deux nappes.

616. Ayant établi, comme ci-dessus , tr^s axes rectasgu laires AX, AY, AZ, Téquation de Thyperbyloïdie à deux n^pes

se détermine en satisfaisant aux conditions suivantes : ^ •

1° Un seul des trois axes coordonnés rencontre la sur/ace ^ • 2** toutes les sections perpendicnlaires à cet hxe sont des c/lipses; 3** ces ellipses ànt leurs centres .situés sur\cef axe y et leurs axes ptincipaitx parallèles aux deujp^autrcs axes' coor^ donnés; 4** les sections faites par les deux autres plans coordonnés, et qui , par leur intersection, forment l'axe qui rencontre seul la surface, sont des hyperboles^ont VaXe principal réel est celui qjui lei0 est commun, et dont le centre est à L'ori^ gine{*y .

Fig. 21 1 . Ayant pris [fig* 211) Taxe des z pour celui qui rencontre la surface^ les hyperboles FBE , GBH données par les sections des plans des z, x et des z,/, auront, d'après la quatrième condition, des. équations des formes suivantes •

car VsLif^ des 2 étant, par hypothèse , celui qui rencontra la surface, il faut qu'en faisant x = o et j = o dans les equatibns (507), on trouve des valeurs réelles pour z. Fiij.Qi I . Cela posé , soit un point M de la surface courbe (fg^ 2 1 1) qui ait pour coordonnées AP = ^, PQ=r j, MQ;=z; l'intersection de cette surface par un plan parallèle à celui des x, y sera

( ^ ) On voit que réquation de Phypcrboloïde à deux nappas s''obtient en modifiant ainsi Ténoncé de Tert. 604 : Vaxe qui ne rencontre pas la surface dans l'hrperboloïde à\une nappe est précisément le- seul qui 'la rencontre dans Vhyperholoïde à deux nappes. ,

DE l'hYPE&BOLOÏDE A' DEfJK NAPPER. 4^9

l'ellipse FME qui aura pour carrés 4^ sestiemi-axes les valeurs que prendront x^ éi y^ dantf les ^uations (Soj) pour une même ordonnée z\ ces équations^ donneront donc •

OlE' = ^(«'-Ji), 0G' = ^(«'-^.. .. (5o8)

Mais ces coordonnées m e\, ^ appartenant aussi à une ellip^ dont les demi-axes sgjaîent OE et OG, cette ellipse aura pour équation

, et, e» divisant par OG'XOEV % "* . .