OE» OG

Substituant dans cette équation les valeurs de OE'et det)G» tirées des équations (5o8) , on trouvera *

^(^^-^') ît^'-^^)

ou

faisant évanouir le facteur z^ — c% il restera

6» fl»

Multipliant pkr /i»i»% et transposant, on trouvera enfin

a^b^z^ — a^c^x^ — b^c^y^ =; a^b^c*. . . (Sog), équation de Vhyperholoïde a deux nappes.

Remarquant^ comme dans les art. 587 et 605 , que les termes constants étant essentiellement positifs , cette équation , écrite

ainsi.

N2» — Mj» — La:'=r P, (5io)

4 10 THÉOKIE I>ES SUBVACES PU SECOND 01U1«E.

n*gclmettra que des quantités positives pour les coefficients N , M,-L, P.

En Tai^nt successivement :p = a , j == 6 , 3 =:± 7, on trouve , pour les écpiatioas des tectjpns parallèles aux plans coordonnés,

M« * — Mr*=P -f- La* . . . (5î I ), J«»£» pmrallèle au filait desy^ «> Nz * — Laf»=P -4-1^6* ... (5 1 2), ^ect. parBU^le mu plan des x, z, Mx'-f-I*r*i=:N7' — P. . .(5i3), saei.parailêteaûpfùndesxyjr.

Lçs équations (5 II) et (5^) appartiennent ^ des hyperboles ; l'éqyation (5i3) est c^Ie d'une ellipse qui cesse d'exister lorsque W7' — P est une quantité négative. Dgns ce ^ cas,

on a

N7^<P oit 7'<j^V

et par contéqiient * . ' '

Mais f dès qu'on prend 7 plus grand que w -, le second terme

de Féquation (5 1 3) «'accroissant, fera aussi augmenter les axes de cette ellipse ; et commç 7 n',entre qu'au carré dans l'équation (Si3)jren faisant 7 négatif, oa trouvera du côté des z négati& une seconde surface absolument semblable à la première. Il résulte de ce qui précède, qu'en m^napt à la distance

- ^ soit au-<l€9sus, soit au«dessous duf)lan des x,f, deux plans

parallèles, la surface ne sera point comprise entre ces plans; maif qu'en menant des plana parallél^ très- rapprochés, à mesure queTons^écarteradu plan des .r,/ dans Te scn$ des z positifs ou dans celui des z négatifs, on aura uiie suite de courbes elliptiques pacrallèles au plan des ^, /, qui croîtront par degrés insensibles depuis zéro jusqu'à l'infini. , .

DE l'hYPERBOLÛÏDE A DEUX NAPP|;S. 4 ^ >

617. puisque la ^ui'fipuîe o^t pas rencmitrée par le plan des Xy j'X*)i elle ne pourra donc Tétre paç les axes des x et des y -qui sont rei|fermé$ danf ee plan ; mais il n'en s^a pas de même à regard de Taxe des z* , - •

En efte^ si Ton égalf' successivement à céro d6ux des variables^^ l'équation (5io)» en faisant

• z=zOy ^ = o, of trouvera ""a? = ± i / - \/ — i ,

cett»*4ecnîèi^ expression est effectivement î» seule qui soit

féelle. En faisant don« %/ ^ = t? ^<^ sera îe seul àxe réel de

la sturface; mais, par analogie, nous «imposerons i /- == a,

- = ^, ce qui d'Ailleurs est j^ssible, puisque ces exprès-

sions'sgnt des constantes d^^l'éiquâtion de là surface , que nous

refiâplaçots^ar d'autres constantes. En substituant , dans Té-

quatidn'(5io^, les valeurs d^L, de M et deN, tirées de ces

équâtiofas , on retoltibe sur Téquation (Sog)

flî^V — Of^c'f^ -^ b^c^x* = a^b^c^. . . . (5i4)> équation de

VhYperboloïde à deux nappes»

{^) Cela devient encooe manifeste en considérant Téquation

]VIy>H-Lar»=:—P, ^ *

qui e4t celle de la sectioi» de la surface par le plan des t^ y^ donne des valeurs imaginaire» par les demi-axes principaux.

4l2 THÉORIE DES SURFACES DU SECOND .ORDRE.

618. On démontrerait, comme 4ans Tar^. 594, qaç la seclion de la surface, par un plail qui passe par Taxe des s, est une hyperbole, «t, au moyen de Féqmatiom de cettç section^ on trouverait, comme ^^ns l'art. ë96, que la condition nécessaire pour, que 1^ surface «oit de révolution esf Fegalité des coefficients a et b. • 1

§19. Au reste, on peut trouver immédiatement cell?toiKli-<t tion d'après ce que nous avons dit (aili IS96) que, daAs ce eSs ,^ 3 devait être une fonction de ^* -h j% ce qui ne peut avoir » lieu que lorsque leg coefficients de js^ et de jr^ deviennent égaux : dans ce cas, l'équation (5i4) se réduit à

«Y — *^'(^* ■+" y*) == ^'^*> équation de Vhy^ perboloïde de réi^olution à deux nappes.

620. Cette équation pourrait *encore se trouver ,* comme dansTart. ÇIO, en^mettant j::' -i- x^ à la place de,r% dans l'éj quadon de la section qui passe par ('axe des 2, qui est de la forme «V — c V = aV. •

62 K Lorsque dansVéquation (5io) on a * •

M = o * ou L = o,

l'équation de la Surface se réduit a celle d'une surface cylindrique dont la base est une h^iperbole, comme on peut s'en convaincre par les mêmes raisonnements que nous avçns employés (art. 601).

Quand lé seul coefficient N de l'équation (5lo) est nul, la surface cesse d'exister, puisque son équation est alors absurde.