CHAPITRE -XI
Des paraboloïdes . .
6S5. Déteiminons maintenant les^ surfaces courbes qui jouissent de ces propriétés : • '
' I**. Deux des plans coordonnés donnent pour sections des paraboles qui ont pour axes la commune section de ces plans,
2®. Toutes les sections perpendiculaires à CfSt axe sont des ellipses ou aes hyperboles.
Les seèdons faites par deiix plans coordonnés ne pouvant se rencontrer que suivant une droite qui est Tun des axes coor donnés , cet axe y que nous prendrons pour celui des z, sera Taxe principal des deux paraboles dont, par conséquent, nous représenterons les équations par
x^=:pZy jr^ = nz.
Si Ton prend AO = z {^g, 212), la première de ces équa- pj^ jj,^.
tions nous donnera
OD»=/?z, . . . . ' (5i5)
et y en vertu de )a seconde y nous aurons
OG'=i nz .\ . . . (5i6)
Les coordonnées x et /^devant satisfaire, dans la pVeraière hypothèse y à une ellipse ^ont lés demi-axes sont OD et OG, on aura (art. 262)
OG' Xx"^-^ OD^ X r ' = OD» X 0G% ou
pzx'-^' nzy'^ = pnz^y (5i7)
et, dans la seconde hypothèse, ces coordonnées satisfaisant
4l4 TH^&lE DES SUHFACES DU ^EG«ND ORDRE.
à rhyi^ibole (292) , étant liées par réquatioa , on aura
OG» X ar» — OD» X V' ^pG' X 0D%
ou pzx* — nzf^=pnz' (5 18)
61114. CD' et OG* étant des carrés , ft>nt essentiellement positifs ; les équations (ai 5) etj[2i6J montrent qu^il en sent de même depz eide nz^ ainsi que de leur produit /»ff^^
Divisons les équations (5i7) et (5 18) par la qilantîté positive pnz^f nous obtiendrons
-x^-\ — y* =1 Zy — j?* r^ =^ z^
multiplions tous les termes de ces équations par une qnandté arbitraire positive N, nous aurons
-x^-\- - r» = Nz, - x^ = Nz:
et, en faisant
nous trouverons enfin
685. La première de ces équations est celle du parajboloide elliptique y et la seconde appartient au paraholoïde hyperbolique.
Occupons-nous d*abord du paraboloïde elliptique , et démontrons que son équation satisfait aux conditions du problème. Pour cet effet ^soient a 9 ^ , 7 les valeurs que prennent les varidales x^y^ z lorsqu'à dos distances a, ^^ 7 on fait passer des plans parallèles à ceux des j', z , des x^ z et des x^jr;
si entre l'équation
L^>H-Mr'=:N« (520)
du paraboloïde elliptique et les équations
DES PARABOLOtqiES.' 4^^
on éliimne successivement x^ j-,^, on tiroiivera .
My^= N« — Ldt^^ seeti<m parallèle au plan desy-j z, Lj:' =: Nz *— Mê% section Jfaratlèle au plan desx, 2, Ihf ' -4- M/*= N7, section paraflèle a^plan des Xy y.
Où voit donc que les «sections faites par des plaiis'parallèles aux plans des z, y et des Zy x sont de» paraboles, et que lïTiiéc^ tî^n £adte par ]^ plan parallèle au ^n des Xy y est une ellipse.
Le plan des*^, / ne rencontreras la surface ^ car lorsque 3 = 0, réquation (620) se réduit à
La?' -h M/^ ?= o^
équatidn absurde , puisque L et H étant essentiellement positifs (art. 624 ) , la dflStructigfi des teilnes du premier membre ne peut s'opéfer. " ♦ , '
L'équ^ion de la section parallèle au plan des x^ y étant mise sou^ cette forme
en multipliant tous les tefmes piur W produit des-dénoiiiiaateurs , nous donne
et Pon reconnaît, dans cette équation, çellç d^une ellipse dojît les carrés- de^ denri-axes sont
car il est visible que ces expressions s'accroissent aycc y ; d*où il suit que ces ellfpse3 vont toujours en «'agrandissant à mesure que le plan sécant s'écarte du plan des x^y.
iï6 THEORIE DES SimVACES DU SECOND QRDEE.
Enfin , si le plan sécant qui passe au-dessous de celui des ^ y J'y z devie^jt oégatif , ii ^dopne lieu à ^une surface courbe située* au-dessDUs d# ge-plaQ et > absolument semblable à celle qui esC au-dessus. ^
tu
626. Les ellipses «formeef par les sections parallèles au plan des ^9 / §uroiit leurs centres %ur .l'axe des z; car l'équation
qui lés renferme toutes, est 'rapportée àiune origine qui est le centre de la tourbe; et confine cette origine eu le point où x et j^ sont nuls , elle sera donc sur Ta^e des z. .
627. Toutes les sections «|m passent.par l'axe des z sont des paraboles; car si Ton élimipe y entre ll^uation (5ig) de la surftu» 4 « . «
« Fi0ad6. ®* Tégtiation- jr = tàng <p . x"\fi^, 206) , qui est celle* du plan
m^né par l'axe des z , é^atiou qui se rédi^t à celle de sa trace , nous trouverons ^
jjj =:tang»(pM (522)
Fig.ao6. ^t (îomme, en 'désiijnant AC p&r r (^^. 200), les variables x • et ç dépendent l'une de l'autre, étant liées entre elles par l'équation
# = rcosf, •
si nous remplaçons x par cette valeur dans Téquation (52g} , nous trouverons ' . .
Nz — Lr'cos'ç =^ M tang*|p r' cos» y, • ».
et , en observant que lang ç cos ap, d'après l'équation (2) , équivaut à sin q^ nous aurons ^ , ^ * - .
Nz = r ^ sin* cp H- rr r' cos''o, ^ . M ^
DES PARABOLOÎDSS. ^t^
OU plutôt, Na=:r' ( sin' «p -h — cos' ç j ; .... (SaS)
d^où nous conclurons que l'équation de la section qui passe par l'axe des z est celle d'une parabole.
65i8. Lorsque M = L , la quantité qui est entre parenthèses dans cette équation se réduisant à sin' ^ + cos'^, dont la valeur est l'unité , l'équation (SaS) devient
Nz = r\
et se trouvant indépendante de l'angle tf, il en i;ésulte que , dans ce cas, toutes les sections menées par l'axe des z sont égales et que la surface peut être obtenue de suite en faisant tourner l'arc de la parabole DC (Jig. 204 ) autour de l'axe des «,
Le paraboloïde elliptique devient alors une surface de révo> lution, et l'équation de la section parallèle au plan des x, Xy
se réduisante
se changera en celle du cercle.
On voit d'ailleurs que la condition exigée (art. 69S et ^96} pour que la surface soit alers une surface de révolution est remplie, puisque l'hypothèse de L = M rend z unijonction de x*-|- j*.
Si dans l'équation
on tait r x^ = 20,
on aura
x^'^y'^-rziT.pz, équation du paraboloïde elliptique de résolution.
