Occupons-nous maintenant de l'équation

Lx' — Mr'=Nî, (5a4)

4l8 THÉOEIB DES tUftPAGBS DU SECOND ORDEK.

qui est la seconde des équations (519)9 qu'on désigne (art. SSiS ) sous le nom àe paraboloïde hyperbolique.

Si l'on coupe cette surface par des plans parallèles aux plans coordonnés y en égalant successivement chaque variable à une constante , on trouve pour les sections faites par ces plans

\jX^ = ' Ns -+- Mp. . . (525), sece, parall. au plan des x, «;. M>'* = — Nz -f- La*. , . (SaSj, sect, parall. au plan des ^, » ^ Lx' — M/*= N7.. . . (527), sect. paralL au plan des x y y.

Les équations (525) et (526) appartiennent à des paraboles, et réquation (527) est celle d'une hypeibok.

650. Si dans les équations (525) et (526) on fait ^ = o dan» Fune, et ensuite a =0 dans l'autre, on trouve que les traces sur les pisms des x, z et des y^ z ont pour équations

Lx* = N«. . . (528)9 section faite par le plan des x, «; M/' = — N«. . . (Sicg), section faite par le plan des y , z,

La première de ces équations est celle d'une parabole qui a ses abscisses sur l'axe des z, et la seconde est celle d^une parabole qui a pour axe des abscisses le prolongemei^ de l'axe des z. Ces paraboles sont situées dans les plans des x, z et des yj z , qui sont perpendiculaires entre eux.

Fig. ai3. 631. Soit OA {fig. 21 3) une valeur de z , dans la parabole,, qui appartient à l'équation (528)9 on obtiendra

X ou OE = ±y£-AO.

Si 9 dans l'hyperbole de l'équation (527), on fait 7 =:= o , la section parallèle au plan des x^y aura pour équation

lir» — Mj* = N.AO.

Le d^mi-axe réel de cette hyperbole sera la valeur «k x qui

DBS PARABOLOlDBS. ^IQ

««^ond à / ^ G (*), et l'on a OE et OE' pour ces valeurs de x

:ar=:±: y/?.ÂO^ ...... . (63o).

OE'et OE' étant \m mêmes dans les deux courbes, concluons que les points £ ef E' leur sont communs, et qu'en reçiAai^t. le plan sécant dans la surface, la partie des2 pQsitifs se compo^^ d'une suite d'hyperboles qui sont parall^es au plan des x^ y, et qui ont leurs sommets sur deux des points delà parabole £AE\

652. A mesure que le plan sécant s'approehe du plan des je, y en lui restant parallèle ^^ l'axe réel EE' de'TKypêrbole RSR'S' diminue jusqu'à ce q^e le plan sécant se confonde avec le plan des x,j; dans cec$iy l'éqiiiation deia st^rface devient

€t donnant ^ = ± ar i / — ?

la section se réduit au système de deux lignes droites.

655. Si le plan sécant passe au-dessous du plan des ^ ^ ^> le signe de 7 change , et l'équation de la section parallèle au plan des Xy jr devient

ou plutôt Mj' — 1>» = N7 (53i)

654, En comparant cette dernière équation à l'équartion (527), on voit que l'aXe réel EE' de l'hyperbole RSR'S', située au-dessus du plan Aeêx^ y^ est parallèle à l'axe des jr, tandis

(*) En effet, on tire de Téquation (53o)