AC

Lcos'y — Msin^ç

□Bt FARAnai.OÏDF.i, .

s'ç — Msin-ip

De l'égalité de ces valeurs de AC et de AC, concluons que l« points M et M' ie la parabole MAH' sont sitnés symétriquement sur l'hyperbole, c'est-à-dire que l'arc EM == E'M'.

On peut donc concevoir le paraboloide hyperbolique comme formée par une Aifinité de paraboles qui ont leurs sommets en K et qui coupent symétriquemmt les branches des hyperboles " RSR'S', VTVT'. !" >

G57. Nous avons vu (art. 5S1 et3S2)que les asymptotes de rhyperboleforment,avecl'axe(éfl,^anglesdontlestangentes ' trigonoihé triques , de signes contraires , sont égales au rapport du petit axe au grand axe de f'I^perbole. L'équadon (53i)do l'hyperbole RSR'S' [fig.zi5) donne, pour ces tangentes tri- ViQ.-uS. gonométriques , . , - •

Ces expressions étant indépendantes de f, Jes asymptotes A'L', A'ir (/g-. 2i5 de la s angle que L4H. Donc les plai les asymptotes des sections.

Les surfaces du second ord bole, ne se bornent pas au pi lolde hyperbolique; aussi ail f^isprises dans l'équation

• Ai'-hBy + Kx = o; laissant Az' positif dans le second membre, on obtient r — H/ — 1Lr=.Aj'.

Quoique les deux termes dti premier soient afTectés du signe négatif, Os deviennent positifs si les deux facteurs qui les composent se trouvent Ae âgnes contraires : ainsi , en ne pré-

jugeant rien sur la na;;ure de ces ternies, nous nous contenterons de remarquer que les deux termes du premier membre ne peuvent être à la fois négatifs; car le second membre étadt, par hypothèse, positif, l'équation serait absurde. Les deux premiers : termes ne peuvent dtmc expi^mer qu'une dif-

> férence ou qu'une sAmme de quantités positives ; par conséquent , nous n'aurons à. discuter que ces deux équations

M^ — H* = Aa', . . .• . . . . (533)

" 638. Occupons-noijlïde lapremltte; pour cet effet, si, dans a ^533). cKi fait »^ o. l'éanalion de la section sur le

. . . .-. .-. (535) roiteAL {^g-2i6)t,

un plan parallèle au lie cette section AX' 1 même tangente trîes les sections telles es à celui des x , y, ndréepar ûSfVroite , et par conséqÎMnl

'(/ë'-2i7)paral^fc |uir équation

l'équatioD d» celle secttoiidevieiKlra

• |« sommet de U parah^ «era donc au point où y = o. Dans - ^ CM, l'équadon (536) se réduit à

Cette valeur 4k(r ^t précisément celle qu'on t/buverâit en

^limigant DQ , on troave

4^4 VBKOBIE T

64S. EnËn,il est facile de recoDÎi^tre quel 'cqAatk» (534^ appartient à une surface de la même nature que cg4» que nous vendus d'analyser ; car en faisant x = — «*! c'est-à-dtre ni prenant l'axe des 3^ sur le proloDgemént 4e ceM AeSx, on • aura une équation de même forme que la précédente. , ^

^' CÏUPITRE XII.

"" ' ' -ansjôrmation des coordothées dans l'espace.

points d'um

iX ,'AT, AJ

troist autres 1

sur la cou I

anciennes ci I

AP' = afS '

rapportées s

Q', M-, des plans parall^fts au planltfes x,y, la

; sera coupée en trois parîfcs comprises entre ces

évident que la première partie est ^S à la nrojection de nf sur l'axe des a , et que la sedoade est ^ale^à ut projection de j' sur l'axe des z , et la; troisième àla'^ôje^h' tion de s' sur l'axe des 2. Si nous nommons donc Z , 2',-Z"^ " angles' que les nouvelles coordonnées' x', y, z'- foi°ment avec l'axe des z, nous aurons "

; == jt'cosZ -H^r'cosZ' 4- a'cosZ". '?'

C'çst, en général, que nous écrivons ces ternies avec lesfene positif, car il est évident qu'ils pouri^ient être négatifs siles ' cosinus appartenaient à des angles qui oiigeassent des ' cfiangements de signes. »

Si nous appelons X , X', X" les angles que les nouvelles

TRANSFORMATION DBS COORDONNEES DANS L^ESPAd^.- 4^

coordonnées font avec Taxe AX, et Y, Y', Y'^ \ts angles qu'elles font avec Taxe AY^ nous démwitrerions de la même manière/ les deux premières des trois équations suivantes , que nous joignons à celle que nous venons'de trouver :

X •=. X* cos X -f- ^' cos X' Th s' cos X" , ]

y z=z af cos'Y -+- y' cos Y' -+- z' cos Y", L . . (537)

* = j/ cosZ -h y cosZ' -f- z' cosZ". J

644. Si rorjgine n'était pas^la même , en appelant a , h^ c , les ooordoopées de Ja nouvelle origine , on aurait évidemment

X = jp' cos X -1- y' cos X' + z' cos X" -4- a^ y =: x' cosY -h y' cos Y' H- «' cos Y" H- ^, z == or' cos Z -+- ^' C06Z' -h z' cosZ'' -^ c. "•'

Les îbciekis axes AX , AY, AZ étant rectangulaires et formant avec la nouvelle coordonnée x* des angles X , Y, Z , avec la nouvelle coordonnée y' des angles X', Y', Z', et ^vec la nouvelle coordonnée z' des angles X'', Y", Z" ; on aura , d'après l'art. 366 ,

cos* X -^ cos' Y -h cos* Z = I , )

cos' X'. -h cos' Y' -+- cos* Z' =: I , \. . . (538)

cos'Xi'.-h cos'Y"-f- cos»Z"= I. )

6415. Il nous reste encore à considérer les angles que les

nouvelles coordonnées forment entre elles : pour cet effet y

soient

V l'angle des x^ et des y',

" tr F«ngle des y' et des z',

W l'angle des z' et des x\

Puisque les nouveaux axes Aj/ et Ay^ sont deux droites qui forment respectivement des angles X , Y, Z et X', Y', Z' avec les anciens axes , et que l'angle de ces droites est représente par V, on aura , d'après Fart. 689, l'équation suivante :

cos V = eos X cos X^ 4- cos Y cos Y' -f- cos Z cos Z'.

426 ^-' TSÉOAIB DES SUftffACES DP tSCORD OftOftB.

Le Dofivei axe kz' faisant avec les amcieBs des angle» X^^ Y'^9 Z"j ncms pourrons déteriBiner de même les ailles Uet W que cette coordonnée tf fait avec les coordonnées j/ et y\ en fonction des angles 'formés par ces droites ai^ec ks anciens axes» en sorte qoe bous aurons ces trois équations pour déter* miner V, U et W : *

cosV = cosX cosX' -hcosY cos Y' -f- cosZ cosZ% ^

cosU =accosX cQsX"-hcosY cosY'^-hcosZ cosZ'', >... (SSg)

cosW=cosX'casX"-h cosY'cosY"-h cosZ'coiZ". )

Mé. Si les nouveaux axes Ax% A.y\ éV sdât aussi rectangulaires y les angles Y, U et W seront droits; on ai^ donc

,• co8V=o, eosUcrO, cosW = o;

ce qui réduira les équations précédentes à *'

cosX cosX' -h cos Y çps Y'-4- cos Z cosZ' == o ,

cos X co^X^^h cos Y cos Y"-f- cos Z cos Z'' = o , } . . . (54©)

cosX'oosX"-|-cosY'cosY''-+-cosZ'cosZ" = o.

Ainsi, en supposant que les nouvelles coordonnées jiartent de la même origine, aou» aurons les neuf équations *X^37}, (538), (540), pour passer'.d'un système"* dé coordonnées rectangulaires dans Tespace , à un autre sy^me de q|Mlonnées rectangulaires. - ••.• ^

JPig.aiS. 647. Si deux des nouveaux axes , AX' et KY'{Jtg. 218) par exemple, restent dans le plan des anciens axes AX, AY, et que AZ' se confonde avec AZ , Fangle Z'^ de ces a^s Al%et AZ' sera nul , et les angles X'' et Y" de Paxe AZ' av^ les axes AX et AY seront droits. On aiii^a donc cosZ" =1,* cos X'' = o , cos Y"= o. Les nouveaux axes AX', AY', n'étant assujfH^^s qu a être dans le plan àe^x^y, formeront un*4ingle arbitrai|«^mais Vaxe AZ', qui coïncide avec AZ , fera des angles droits a^m; AX'

pt AY' : on aura donc encore Y , . ^

cos U =: o , COS W ■= .p } .

TRANSFORMATION INSS «OORDOHNKKS I>ANS L^BSPAGE. 4^^

par ce» valeurs, «t Tcgalité à zéro de cos X'' 'et de cos Y', les deux dâmièhes des éqtiations (SSg) ^eviendroiit

cos Z =r G , cos II = o ;

ce qui réduira les équations (538) à

cos»X4- cos'Y=r I, cos»X'-f-cos*Y'=: i; par conséquent on aura

cos Y = sin X , cos Y' = cosX',

et les équations (537 ) deviendront

X = or' cos X -H r' cos X', ^ = a/ sin X -h ^' sîn X',

mêmes formules que les équations (282) que l'cm a trouvées (art. 585).

648. On doit à Euler d'autres formules de transformation pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un système d'autres coordonnées rectangulaires formant entre elles un plan incliné à Tun des plans primitifs coordçonés; 90US allons démontrer ces formules en prenant une même origiiii||ks coordonnées.

Pouv eedk^ffety soient {fi^* 219)0:, j, z trois coordonnées Fig.^ 19* rectangulaires; lorsqu^on veut passer de ces coordonnées à uii; noifvea^ système de coordpnnées rectangulaires jt', y'^ z* rapportées à 1^ mèjoie origine, et qu'on se propose de chercher les^ conditions nécessaires pour déterminer la position des nou* ji^ux axes Aa/, Aj', kz* à l'égard des anciens k.x ^ A/, As *

\:^^.^i9), il est certain que si les axes A j/ et ky' étaient donnés déposition , le nouvel axe kz* serait déterminé par la conditio]Ç|/étre perpendiculaire aux deux autres : ainsi, tou^ se réduit à trouver la position des axes kx\ ky'.

Le plan des x', j', formé par les axes Ax', A j/, sera déterminé de position si l'on donne Pangle ^ que la trace de. ce plan. forme avec celui des iT, y^ et l'angle 6 q^n mesure

4^8 THEORIE DES SUR^ACfiS DU SECOND ORDRE.

rilDclinaisQn deà plans des x,^ et des j/, y. Les coordonnées a/y y' devant se trouver à angle droit dans le plan des x'^ j'y il suffira I pour déterminer leur position , de , donner seulement Tangle que le nouvel axe Ao/ fait avec la trace.

La position des nouvelles coordonnées ne dépend donc que de ces trois choses : . |

1°. L'angle (p que la trace du plan des j/^, y' sur celui des Xy y fait avec Taxe des x\ »

2**. L'angle 0 que le plan des Xy y fait avec le plan des jf y^ ; 3**. L'angle ^ que le nouvel axe Aj/ fait avec la trace.

649. Pour déterminer les nouvelles coordonnées'a:'-, y\ z' en fonction des anciennes Xy yy 2, recourons auxiliairemeat Fig.aao. (^g^. 220) à un nouveau système d'axes rectangulaires, en prenant 'la trace AE pour le nouvel axe Aar,des abscisses; et cherchons quelles seront , dans cô système , les positions des deux autres axes Aj,, Az,, L'axe Ax,, comme commune section, sera dans le pl^n des Xy y-y Taxe ky, y sera aussi, parce qu'S est perpendiculaire à l'axe A^, ; et puisque nous connaissons l'angle (j> que la trace AB ou plutôt que l'axe Ar, forme avec* l'axe Ax , nous aurons , par la fornsAile ^^4 ) de l'art. 587 ( page 238) ,

X z=. x^ cos (j) — y^ sin y , j = X, sin <p -H y, cos©;

et comme le plan des or, , y' est le même que le-.plan des x^^ qui renferme les axes Ax, , ky, , on aura encore '^.r'-

6ttO, L'axe ky, étant donc perpendiculaire à la'tiirce AE , si , Fig.iai. à cette même trace, on mène au point A [fig» 221), dans le plan AX' des j/, y* y une seconde perpendiculaire A j„ , l'angle y^ ky^f des plans AX , AX', mesuré par ces perpendiculaires, sera l'angle que nous avons nomme 9. Or, Ar/et kz ou

TRAIYSFOAMATIOlf 1)£S COORDONNEES DANS l'cSPACE. .42O

plutôt AZf étant perpendiculaires à AE, sont dans le plan^^ Aj '; nous allons prouver qu'il en est de même des axes Ay^^ et Az ^ : le premier jr est compris par construction; à l'égard de A«„ , remarquons que A£ étani perpendiculaire aux droites Ax, et Aj„ qui se croisent à son pied , doit Tétre au plan y, Ay,^ qu'elles forment^* on aura donc

Or, Az,, étant perpendiculaire à Aj„ et à A^^, comme axes coordonnées, réciproquement Aj:„ ou Ax, le sera à Az,,.et à Aj,, , et par conséquent au plan z„ A/,,. Ce plan se confond donj avec le plan y, Ajr,,, qui contient toutes les perpendiculaires à Ax, ; d'où il résulte que Az,, et A/,, sont dans le plan y^ Aj,, ; et dès que l'on conniût l'angle 0 que les axes Ay, et A/ y ont entre eux, on aura (art. 587 )

y,= y,^cos9 -z.sinô,) ^ z, = j-,, sm G 4- 3„ cos 0 ; ) ^ ^^^

63t. Nous venons de voir que la droite Ay,^ était dans le plan des x', jr', et comme , d'après l'équation (543), la trace AE qui appartient au même plan, est dirigée suivant le second axe AXf,y les coordonnées y^^ et jr,, seront donc situées dans le plan des x% y'.

On passera facilement de ces coordonnées x,, , y^^ aux coordonnées a/, y' y car nous connaissons Fangle •h que le nouvel axe Ax' fait avec Taxe Aar„ ou AE ; et nous aurons (art. 587)

'.„ = .' cos|-r;sin^,j

y^, =r x' sm ip H- ^' cos >['. ) v t /

Le troisième axe Az' devant être perpendiculaire au plan des deux autres Aj/, Aj^, comme l'axe Az^, jouit de cette propriété, puisqu'il est perpendiculaire au plan des coordonnées j:„, j,,, qui est le même que le plan des j/, y\ on aura encore

X3o THiOAIS DES SUàPAGKS Dif SECOlfU OBDBE.

6^â. Si dans les formules (54 >) ^t (542) on met les valeurs de or,, de y^ et de Zj données par tes équations (543) et (544)> ^ qu'ensuite on substituedans œs résultats les valeurs de jt,^, de x,,^ de a,;, données par ïes équations (545) et (546), et qu'on réunisse les termes multipliés par^acune des variables x'y y\ t^, on trouvera

X = a:' (cos i|^ cos y — sin i|^ cos Ô sin tp) — j' (cos -^ cos 0 sin ç H- sin ^ cos <p) 4- s' sin Ô sin ç,

y == j?/ (cos iji sin ep -H sin t]/ cos Ô cos <p) -4- j'' (cos -i^ cos 8 cos y — sin 4* sin tf) — a' sinO cos f,

2 =r j/ sin! >|/ sin 0 + y cos 4' sin 6 -f- «' cos 0. *

K* Les signes de ces formules peuvent varier selon les incli-

naisons que Ton donnera aux angles f , ô et^'*

6I$5. Par exemple , si les axes kx^ et Ay^^ tombaient, comme Fig.323. dans la fig. 222 , derrière les axes Ax et A/^,, il Êtudrait changer les signes, de sin 9 et de sin ^ dans les formules précédentes ; et Ton obtiendrait de cette manière

x-z^xl (cos 4» cos f -4* sin 4^ cos ô sin ^) ^ y (cos'tl» cos ô sin^ — sin^' oo9f ) + 2' sîn 9 sin f^

y z=zx' (sin i|^ cos 0 cos «p -^ cos ip sin <p) V . (54?)

-h y (cos-»!* cos ô cosç -h sin 4* an ^) H- *' sin ô cos ^,

z = — «' sin ip sin d — y cos 4» sin ft H- «' cos 0.

Qn peut simplifier ces formules en supposant 4> = o » c'està-dire en prenant pour nouvel axe des x' la trace £ dn plan des x^f y' sur le plan des Xy y\ ety dans cette hypothèse, on aura sin 4^ = 0, et par conséquent cqsj){L=i« Ces formules réduiront les équations (547 ) ^

x = x' cos f -f- j' cosô sin f -h a' sin 9 sin y, y = — x' sin ç -+- y cos 9 cos y -h 2' sin 9 cos y, z == — y sin 9 4- z' cos 9.

ÉQUATION GiNÉaALE DBS SUKrACXS DU SSCÔND ORDRB. 4^^ ^