CHAPITRE XllI
Discussion de Véquation générale des surfaces du
second ordre.
6tf4. De même qae toutes les couii)es du second ordre sont renfermées dans Féquation générale du second degré à deux variables j de même l'algèbre nous montre que toutes les surfaces du second ordre sont comprises dans Féquation générale du second degré à trois variables #
Cette équation générale est de la forme
-+- F/a 4- Gor -H Elr 4- I« -h K ) ^'*** ^ ^ ^
dans laquelle les axes des or, desj^ et des 9 sont supposés rectangulaires. Pour faciliter les élévations au carré dont nous aurons bientôt besoin , remplaçons les constantes par d'autres constantes, en supposant
D = 2D', E=2E', F=aF', G=raG', H = 2fl', Irézl', et réquation (548) deviendra
Ax»-+- Bj* H- C«*-f- aD'jrj -h aE'xz H- 2F>
-f- aG'jr 4- 2H'7-+- 21'» •+■ K
6tR$. Faisons une observation qui tendra à nous délivrer de cette multitude de lettres employées dans cette équation , c'est que les variables y sont distribuées en trois classes , savoir :
I®. Les Crois termes de carrés des coordonnées; 2^. Les trois termes de rectangles ; 3^. Les trois termes de variaUes élevées seulement à la première puissance.
\ 4^^ TSÉOKl^ DES SUftFACES DU SECOND ORDRE.
Représentons les coefficients des termes carrés par L^ M, N; Les coefficients des termes de rectangles par L', M', N';
Les coefficients dè^ premières puissances des variables^, par
et l'équation (549) Pourra être mise sous cette forme
Cette équation , ordonnée par rapport à ;s et divisée par le coefficient N de z*, devient
' Lj:' 4- %•'+ 2 ( L'-=cr + L''»^ + M^» -f- K ^ ~ ^'
et, en représentant* par Y la foQction de ^^ dey et de K qui vient après les termes en z' et «en z , il reste
et', en résolvant cette équation , nous aurons
. = ^j ±\/^ jj J -\.
Si Ton met à part le radical , on voit que l'équation
est celle d'un plan sur lequel les ordonnées z sont située^; mais si Ton a égard au radical , z a toujours deux valeurs égales,
/M'a:-|-NV-4-N'''\ Tune représentée par — I — — \ -^ le raéUcaly
et l'autre par — - ( :^ — ■ — y— le radical;
DISCUSSION DE l'ÉQU AT. G^IféBk DES SURlFAC. DU 2^0EDRE. 4^3
ce qui montre que toutes les cordes parallèles à Taxe des z sont partagées eu deux parties égales par le plan dont Téquation est
Ce plan y qui passe par le milieu de toutes les cordes parailèles à l'axe des z , est ce qu'on appelle le plan diamétral.
Ce plan est oblique à celui des x, y, puisque, s'il lui était parallèle, au lieu de Téquadon (55 1) on aurait
. z = constante \
mais les ordonnées z, étant perpendiculaires au plan des x^ y, doivent nécessairement couper obliquement le plan auquel se rapporte l'équation (55 1) , parce qu'il est incliné au plan des x^ y,
6S6. Ce plan, qui coupe (art. 688) toutes les cordes paraU lèles à l'axe des z en deux parties égales , coupe de même la corde dont l'axe des z est la moitié. Cette corde , que le centre coupe en deux parties égales, est donc un diamètre,
687. La position du plan des x, y étant arbitraire, supposons que ce plan ait été mené parallèlement au plan diamétral que nous venons d'établir ; les cordes comprises entre les deux plaûâ ne cesseront pas d'être obliques, puisqu'elles n'ont pas changé à l'égard du plan diamétral auquel on vient de démontrer qu'elles étaient obliques, et qui a toujours gardé la même position à l'égard de la surface. Dans ce cas l'équation du plan diamétral , au lieu d'être
se réduira à
z = constante y
d'où il suit qu'on devra avoir M' = o, N' = o ; et l'équa^tion (55o) de la surface , perdant les deux termes 2M^xz et 2N'/2, deviendra
L4:'+M/'+Nz'4-2L'j:jr-j-iLV-h2M'>^-2N''z-f-K=o.. . (55^)
61(8. £n cette nouvelle position du plan des x^ y, et sans déranger Torigine » changeons dans ce plan la direction des axes des X et des ^ à Taîde de la transformation ordinaire des coordonnées duchap. XII. Nous pourrons faire évanouir le terme en xj, et alors , faisant passer dans le second membre la nouvelle constante que cette transformation amènera ^ et en la désignant par P, réquation (552) prendra cette forme (*)
La:^-f-Mr'-hNz'-f-2L"a?4-2M'>-f-2N"z = P. . . (553)
6tf0. Jusqu'à présent l'axe des % et l'origine, pris au hasard primitivement, n'ont pas changé de place; dérangeons maintenant cette origine en faisant
Cette substitution dans l'équation (553), en supprimant les accents des variables devenus inutiles , parce que nous ne considérerons plus les anciennes coordonnées , nous amènera le résultat
Lx>-MM[r'-f-N4'-j-2 (L'*— La)x-4-2 (M"— M6)j-f-2(N"— N7) z\ ,
— La»— M6»-. Nv^-h 2L"a -f. iWt -|- 2N"7 J — P. • • (554)
Égalant à zéro les termes qui dans Téquation (554) contiennent dî , ^, « au premier degré , on obtiendra ces équations de condition
L' — La=:o, M" — MS=o, N" — «7 = 0, et l'on déterminera ainsi a , 6 et 7,
^=î7' ^=m"* "^"sr^* • • " ^^^^^
réquation (554), ^"^ vertu des équations de condition (555),
(*) Observons que les constantes L", M", N", P n'auront plus les mêmes Talears qu^elles ont dans Péquation (55a).
( **) On aurait pu également supposer x = x'-»-a, j^=:j''-<-6, » = «' 4- y, puisque « , 6 , y sont des valeurs générales qu'on détermine ensuite; mais nous leur donnons le signe négatif pour que ces valeurs soient positives dans les équations (555), que nous allons obtenir.
DISCUSSION DE l'ÉQUAT. G£N£R. DES SURFAG. DU 1^ ORDRE. 4^5
ayant perdu ses termes affectés des premières puissances des variables j représentons par R les termes eonstanl;s , elle se réduit à
Lf' H~ M/' -h Nii» = R (556)
660. Si, dans Tune des équations (555), un dénominateur est nul , la valeur du premier membre devient infinie ; par
exemple , si Tî = o , on a
7 = — =Qo; o
mais alors la troisième des équations (555) ne peut avoir lieu ; car Tî , étant nul , ferait disparaître le terme Nz' de Téquation (553) ; et comme , d'un autre côté , la troisième des équations (555) n'exprime plus une valeur finie , le terme qui contient z au premier degré ne peut s'évanouii'.
661. Dans ce. cas, au lieu d'éliminer à la fois les termes affectés des premières puissances des variables , ce qui devient impossible, on peut, dans l'équation qui, par hypothèse , a perdu son terme en Nz*, faire disparaître encore trois termes de cette équation , en égalant à zéro les termes en or et en / et la somme des termes constants de l'équation (554). ^^ opérant ainsi , nous aurons ces trois équations de condition
L" — La=:o, M" — M6 = o,
p 4. La^ -H M6' — 2L' a — 2M"e — 2N' 7 = o ; d'où nous tirerons
662. Les équations (557) faisant disparaître (*) ^^ l'équation (554) ^^ termes en x et en j au premier degré et le terme constant , cette équation prend la forme
Ma7^ -h 1N>'' =r 2Q3; (558)
(*) Ne perdons pas de vue que le terme en z* n'existe pas , attendu que son coefiicient est nul da^is Thypothèse da Tart. 660.
mais il peut arriver que la valeur de 7, déterminée par ia dernière des équations (557) ' ^^ ^'^^ dépend la disparition du terme constant de Téquatîon (554) ' ^^ é|;alement infinie ; c'est ce qui a lieu lorsque N^'^o, Dans ce cas, l'hypothèse N7 = o, qui entraîne la disparition du terme en s, jointe à Thjrpothèse de N''= o , nécessitera aussi l'évanouissement du coefficient 2 (N" — N7 ) de i au premier degré de l'équation (554), quel que soit z ; et comme les valeurs de L, de M, de L" et de M", qui entrent dans les seconds termes des premières des équations (557), ne sont pi nulles ni infinies , les valeurs de a et de 6 s6nt possibles , et par conséquent Jfbnt évanouir les termes qui contiennent or et ^ au premier degré dans l'équation (554 ) > qui , dans sa réduction , prend la forme
I^» -4- Mj» = R.
Nous reconnaîtrons bientôt que , dans ce cas , la surface est cylindrique. A l'égard des hypothèses où deux et même trois des coefficients des carrés des variables seraient nuls, nous verrons qu'elles nous ^conduiraient également à des surfaces cylindriques ou planes.
665. Il suit de ce qui précède que, hors les cas exceptionnels et celui des surfaces coniques , dont nous nous occuperons aussi , toutes les surfaces du second ordre se rattachent à ces deux équations
