CONSTRUCTION DES TABLES DES SINUS
mettant dans le premier terme du second membre la valeur co&^^ay tirée de Téquation (i) , qui donne , pour le cas où Ton remplace r par l'unité ,
sin*|fl -h cos^{a = i, on obtiendra
sina = a — asin' y^ + 2^cos*(4'û); . • . (53)
mais, d'après notre lemme, ^ a surpasse sin ya; soit s la différence : nous aurons donc
|rt = sin jû -4- «;
et , en élevant au carré , nous trouverons
|a^ = sin^(7fl)H-2«sinYÛ 4- «*.
Observant que e est facteur commun des deux derniers termes du second membre de celle-ci , nous pourrons représenter ces deox derniers termes par s k , quantité essentiellement positive, puisque c et sin \a\e sont par hypothèse. L*équation précédente nous donnera
|a» = sin*(|a)-f-6A:;
on tire de cette équation
Cette valeur étant substituée dans l'équation (53) , nous trouverons
sinû = fl — |a=^-f-fle^ -I- 2^cos*(jû),
par conséquent,
a — sinfl = ^a^ — a&k — a^cos'-j «;
et, en faisant passer les deux derniers termes du second membre dans le premier,
a — sin a -f-fl«Â--f-2 ^.cos ^ | a = «J-a*.
30 T&IGONOMiT&IE.
Si nous supprimons les deux derniers termes du premier membre , qui se composent de quantités positives , d'après ce qui précède, il restera
a — sinûK^jû^ (54)
Appliquons cette formule à l'arc de i'; pour cela remarquons que, d'après les premiers termes de la formule de Ludolphe, nous avons
diam.
Remplaçant le dénominateur du premier membre par 2 , vu que le rayon étant l'unité , le diamètre vaut 2 , nous aurons
cire. = 2 (3,i4i 592653589 793. . .) ... (55)
Or la circonférence contenant 36o degrés , et le degré 60 minutes, la circonférence est donc composée d'un nombre de minutes exprimé par 36o X 60 = 2 1 600.
Au moyen de cette va^ur, l'équation (55) nous donnera
donc
, cire. /3,i4i 502653580703. .'.\
l'ou — ^-^= 2 1 — '- — ^ p. — ^-^^ |,
et , en exécutant la division ,
^' ^'^iTig^ = ^C^'^^^*^4^444 10433 ) ;
donc
fl ou 1' = 0,000290 88820866; {^)
par conséquent , lorsqu'on aura élevé au cube le nombre décimal dépourvu des trois zéros qui le précèdent, on retranchera , suivant l'usage , à partir du dernier chiffre de la droite du cube trouvé et en allant vers la gauche , trois fois autant i de décimales qu'il y avait de chiffres dans le nombre précédé de trois zéros, y compris ces zéros; et l'on complétera, à gauche , par autant de zéros qu'il sera nécessaire , le nombre re-
CONSTRUCTION DSS TABLÉS DES SINUS. 3l
quîs de décimales. Divisant ensuite par 4 , on trouvera
-7- ou|(i')3 = 0,000000000000 i5,
nombre qui n'influe que sur la 12^ décimale; et comme, d'après l'inégalité ( 54) , la différence du sinus à l'arc est moindre
que -r = -T^ <>» pe«t regarder la différence de Parc au sinus
de i' comme nulle, quand on ne prend pas plus de ii décimales. Or, les valeurs des sinus des tables n'étant pas calculées ordinairement avec plus de décimales, on sent qu'on est en droit de regarder l'arc et le sinus comme étant égaux lorsqu'on se borne à ce nombre de décimales. {Note sixième,)
Quand on aura déterminé le sinus d'un arc de i', il sera facile d'obtenir les sinus et cosinus de l'arc de 1" ; car, en prenant le rayon pour unité , l'équation sin * a -f- cos* ^ = 1 donnera cos i' i= y i — sin' i'.
Les valeurs de sin i' et de cos 1% étant substituées dans les formules (28) , feront connaître les valeurs de sin 2! et de cos a'; et les formules (28) déterminerotit ensuite les sinus et cosinus d'un arc de 3'^
49. Ëkaminons mainteiiatit comttient on peut caletiler pins commodément les autres sinus { si dans la formule (4^) on faitr=xi , cett« formule nous donnera
sin (a H- i) = 1 sin a cos 5 — sin (a — h)^
64, 6A faisant nssi', * = i', et ensuite a = 2', 4' =r 3', etc., puis en continuant de laisser à i la valeur l'y on aura successi?cment
8in(i'-i-i') ou sintt' 3x dcos 1' sin i' — o,
«in (a' -i- i') ou sin 3' = acot i' sin 2' — sin i',
sin (3' -4- i') ou sin 4' = a cos \' sin 3' — sin 2',
sin (4' -H i') ou sin 5' = acos 1' sin 4' — sin 3', etc.;
et Ton voit qu^avec les valeurs du dernier et de l'avant-dernier sinus calc^és , on obtient la valeur du sinus désire. On déterminera de même les cosinus à Taide de la formule suivante,
32 TRIOONOMETRIK.
tirée de Téquation (44) :
cos (a -hb) = asin a cos b — cos {a — b).
C^est ainsi qu^en marchant progressivement, on pourrait construire des tables des sinus , si les séries convergentes données parle calcul différentiel ne fournissaient pas des moyens plus ezpéditifs pour y parvenir.
50. Tous ces sinus et cosinus ayant été calculés dans l'hypothèse du rayon i , on obtiendra leurs valeurs dans Thypothèse d'un rayon de lo milliards de parties, en les multipliant par 10 milliards.
