L.r» -f- M/» -f- Nz^ = P
Lx^ -h îftr'' =; 2Q2. . . ' (56o)
La première est celle des surfaces à centre , et la seconde est celle des surfaces privées de centre, ainsi qu'on va le démontrer. Par centre , nous entendons un point situé dans la surface , de telle manière que si un rayon vecteur part du centre, il s'en trouve un autre sur son prolongement qui, ayant la même longueur, va rencontrer la surface à son extrémité opposée.
Prenons ce centre pour origine , et admettons que les coor-
DISCUSSION DE I/'ÉQUAT. GENKE. DESSURFAC. DU 2^ ORDRE, 4^^
données u; = flr, y =: b, z=z c soient celles d*un point de la surface; il faut donc que les coordoniàées j?:;= — *«, jr= — b, z =: — c soient celles du point opposé ; or, si dans l'équation (559) on introduit les valeurs^? =/^ X^=b^Z7=zcy cette équati^ y ne contenant que les carrés, donnera pour x^ y et s des valeurs égales et de signes contraires.; d'où il suit que a^ b, c étant les coordonnées d'un point de la surface, — <i, — 6, — c seront celles du point directement opposé et également distant du centre. Ces droites qui passent par le centre sont des diamètres.
Par un point M quelconque de la surface menons un rayon vecteur, c'est-à-<lire une droite qui passe par le centre , et supposons que cette droite soit primitivement prise pour axe des z; ce rayon, prolongé d'une partie égale à. sa longueur, rencontrera la surface et constituera un diamètre.
Voilà donc une propriété bien remarquable des surfaces à centre qui est l'analogue de celle que nou«. avons remarquée dans les courbes à cen|;re du second ordre.
664. Il est facile dç prouver qu'au contraire, la surface qui est comprise dans l'équation (56o)«i'^ pas de centre; car, si l'on donne aux co0r<lonnées les valeurs positives -f- ^ , -+- j, z, on trouvera
••• - \ liandis que, si aux coordonnées on donoe le» valeurs négatives
on trouvera
et, quoique ces deux valeurs de z soient égales et de signes contraires, il n'en est pas de même de celles de :i7 et de j ; car, en mettant dans l'équation ( 56o) les deux valeurs de z
438 THio&IE DES SURFACES DU SECOBTD ORDRE.
que nous venons de trouver, on a
Lx' -+- Mr^ = 2Q3 , Lx' 4- My' = — 2Q3 ;
et Ton voit que ces hypothèses de z et de — z n'amènent pas des valeurs égales pour jt' ; ce qui serait nécessaire po*t quear eût deux valeurs égales et de signes contraires : il en est de même de jr .
668. Les surfaces à centre comprennent plusieurs genres;, pour le démonu^er, laissons le terme constant dans le membre où il est positif, et supposons que ee membre soit le second : les termes compris dans le premier ne pourront donner qu'une somme ou qu'une différence ; car, comme nous en avons déjà fait la remarque , Téquation serait absurde si l'on égalait à une quantité essentiellement positive une somme de quantités né- •gatf^es. Nous n'aurons donc que ces trois combinaisons (*),
Lj:» 4-' M/=» -4- Nz» = P, {56r)
Ljc' -h my — Nz^ = p, (562)
Nz' — Lx^ — Mjr^=P (563)
En comparant la première de ces équations à celle que nous avons trouvée (art. 887), on voit que la surfece qu'elle représente n'est autre chose que celle de l'ellipsoïde.
