Pour mettre l'équation de cette courbe sous une forme
(*) Nous ne parlons pas des cas où Ton aurait
Lx* -4- N2» — Mj'» = P, M>»-i- J^z* — Lx« = P,
Lor» — Nij* — Mj^* = P,
parce qu'ild rentrent dans ceux des équations (56i), (562), (563),' ce que nous disons de l'une des variables pouvant s'^appliquer aux autres.
DISCUSSION DE l'îÎQUAT. G^NÉR. DES SURFAC. DU 1^ ORDRE. 430
plus symétrique , divisons-la par P, nous aurons
Lar' Mr' Nz'
et en (^visant les deux termes de chacune de ces fractions par son numérateur, nous n'en changerons point la valeur, ce qui nous donnera
le second membre étant de dimeiision nulte , il en doit être dé même du premier, ce qui exige que les expressions renfer- . mées entre les parenthèses soient chacune de deux dimensions; et comme, diaprés le classement que nous avons fait (art. 66^), L, M, N, P sont essentiellement positifs, les
fractions f ' t7» ^^ étant des quantités positives de deux dimen-
sions, nous pouvons les représenter par a% 6% c% et l'équation (563) deviendra
et, en chassant les dénominateurs, nous donnera
hH^x^->ra^c'y^ -\'à'h'z^z=ia^b'c' (565)'
Cette équation , qui est la même que celle de Tart. ^86 , comprise sous le n® (43^)9 ^ ^^ \yi&xi plus grand degré de généralité, car celle du n°(482) n'appartenait qu'aux axes, tandis que celle-ci a lieu entre trois diamètres qui , en se réunissant au centre , forment entre eux des angles quelconques dont les axes ne sont qu'un cas particulier, celui où les angles dont nous venons de parler sont droits. Ces diamètres portent le nom de" diamètres conjugués, par la liaison qu'ils ont entre eux et de laquelle il résulte que chacun des plans coordonnés partage la
coordonnée parallèle à Taxe qu'il ne renferme pas en deux parties égales ; car en faisant
c = o et a =o, \ c =;;o et «=0, \ V fl = o et ^=ro, J
x=r rca.
équation (565) nous donne ^ j^ =3 ± è,
667. La deuxième et la troisième variété des courbes à centre sont comprises dans les équatioi^s (562) et (563), dans lesquelles on reconnaît cellétde l'hyperbololde à une nappe et de rhyperbolpïde à deux îÀappes.
668. Les courbes , qui n'ont pas de centre et auxqueHes se rapporte l'équation (660), • •
* Lx^ -4- M/* = 2Q3, (566)
ne renferment que deux divisions, savoir, cdk où, ayant place 2Qz dans le membre où ce terme est positif^' l'autre menjsre exprime une somme, ou une différence , ce qui .éfaMit' pour ces deux classes de surfaces les équatifW
Ii«:^4^'Mj»= 2Qs,
équations qui sont celles du paraboloide «lliptique et du paraboloïde hyperbolique, dont nous avons traité au c|\ap. XI.
669. Lorsque l'équation générale (55o)[art. 6M] est dépourvue des termes qui renferment les rectangles des coordon-: nées, elle se réduit à la forme
Li' -f- Mj' + Nz' H- Vx -+. MV 4- IV'z^H- K z= o. . (567)
Si dans cette équation on substitue les valeurs
l'origine changera de place, et, en représentant la somme algébrique des termes constants transportés dans le seconc)
DISCUSSION DE L^ÉQUAT. GENEK. DES SURFAC. DU 2* Û&D&E. 44 '
noembre par P , on aura
Lj/' -h My -+- Nz'' -H 2 La
faisant évanouir les trois termes affectés des premières puissances des variables , en égalant leurs coefficients à zéro , on: obtient
Ces varcurs sont toujours possibles lorsque les termes L, M, N ne sont pas nuls ; par conséquent , Téquation générale peut se .
réduire à
Lx' -MVÏ7» 4- Nz' = P, (569)
ce qul^estla forme des courbes à centre.
6Ï0»« Mais lorsque le coefficient de l'un des termes affectés des carrée des variables est nul , on ne peut faire évanouir le terme qui contient cette même variable à la première puissance : par exemple, si, dans l'équation (568) , le«coefficient N de 2'' est nul 9 le coefficient de z* ne peut s'évanouir, parce qtfe la valeur 2N7 4- N" de ce coefficient, se réduisant à N", ne peut être égalée à zéro pour déterminer 7 qui est la coordouiée de la nouvelle origine dans le sens des z ; dans ce cas-là nous ne pourrons donc égaler à zéro que les termes en x^ et y\ ce qui jféduira Téquation (568) à la forme
*^ ^ Mj' -h Lx^ -H- N2 = P ; (570)
el.eci^QEmie nous n'avons disposé que de deux des quantités arbitKâî«e^ a, ^, 7, en égalant à zéro les coefficients de af et de y' ^ nous pourrons déterminer 7 en égalant aussi à zéro la somme des termes constants représentée par P dans l'équation (568). Ce terme P ne renfermant 7 qu'au premier degré, parce que . N = o, il sera toujours possible de déterminer 7 convenablement pour que P s'évanouisse ; alors notre équation deviendra
f^ Mj' -j- L^' + Nz = o. . ■ (571)
Si au lieu de N = o on avait M = 0 ou L = o, nous parviendrions à une équation de même forme que la précédente , mais dans laquelle les diamètres conjugués seraient mutuellement changés; et comme la situation respective de ces diamètres nous est indifférente , nous ne considérons que l'équation (569).
671. L'équation (667) comprenant les équations (569) et (57 1), auxquelles Téquation générale se réduit, a donc toute la généralité de cette équation générale.
