CHAPITRE XIV

Des cas particuliers de V équation gén^mm clés surfaces du second ordre j où Von ne p&m construire une des cinq surfaces dont il est question dans le chapitre précédent.

6711. Nous avons vu (art. 66â) que, lorsque le coefficient d*ùne variable et celui de son carré manquent dans l'équation (552L cela nous conduisait à celle-ci :

Ljc^-^- M/' = R ;

on tomberait sur un même résultat si, dans Téquation (553)^^

on avait ♦

car elle se réduirait à \ %'às^

Pour savoir ce que signifie cette équation jjSSIfelions (art. 589 ) à l'équation (487) de l'ellipsoïde qui a pour' trace de la section faite par un plan parallèle à celui des o* ^ /, à une distance 7 • comptée sur l'axe oblique des z , : „ ^Hf

DES CAS PARTIC. OU lVkE DES CINQ SURFACES n'eXISTE PAS. 44^

Cette équation, en opérant comme dans Tart. i590 , nous donnera pour axes des x et des y de Teilipse tracée par la section,

et Ton voit que , dans le cas où N = o, on a .. ^

valeurs qui sont les mêmes que celles que nous donnerait l'équation de la trace sur le plan des j?, j, tirée de Téqua-'^ tion (564) ; djpù il suit que toutes les ellipses des sections seront les mêmes que celles de la base; et comme Taxe est oblique et passe car tous les centres , la surface sera donc celle d'un cylindre à base elliptique et à arêtes obliques, tel qu'on le voit {fig, 123), ou d'un cylindre hyperbolique si la base, au Fig.iaS. lieu d'être une ellipse , est une hyperbole.

675. Si les diamètres conjugués forment entre eux des angles droits , ils se changeront en axes , et le cylindre sera droit.

Au reste, on voit que, quand le terme N manque, l'équation de l'ellipsoïde, dans un système d'axes rectangulaires, fiX3 -

réduit à ' t

L^2 |1 Mj^ = P ' . . . (572)

Il est à remarquer que , quoique z n'enUe piis'idviis cette équation , cette coordonnée ne subsiste p^s moins , (^r la condition N = o ne dit pas que z soit buI. Tout point de la surface est toujours déterminé par les trois coordonnées x^y^z. Cette dernière seulement n'est assujettie qu'à rester parallèle à l'axe des z , et à être comprise entre deux points , l'un sur Tintersection de la surface par le plan , et l'autre sur la trace ; à part ' cela , z est arbitraire.

Faisons donc 2=0 pour avoir la trace sur le plan des x^y^ et l'équation (572) nous montre que cette trace est une ei%>se; mais quand z ne sera pas nul , 3a longueur parallèlçà l'axe des z

444 THISOEIB DES SURVACES DÛ SECOND OED&E.

ne sera autre chose que Tarête d'un cylindre oblique à base Fi0.ia3* elliplique. Ce cylindre est représenté pai* la^T^. i23.

Il suit de ce qui précède que si, par tous les points de

l'ellipse tracée sur le plan des x^ y^ on mène des ordonnées

obliques parallèles à l'axe des z et de même grandeur, ces

ordonnées appartiendront toutes à la surface; cette surface sera

'•,d'6nc un cylindre.

Si L = M , la base de ce cylindre est un cercle , puisqu'alors l'équation (572} devient