Supposons maintenant que deux des coefficients des

DKS CAS PAATIG. OU l'uNE DES CINQ SURFACES h'eXISTE PAS. 44^

termes carrés manquent dans Téquation (553) (*) , et que ce soit par exemple celui de z qui i«ste y Téquation se réduira, dans ce

cas à

Nz'-h2L"^4-2]\r/4-2N"z=.P (573)

Si l'on fait z = o, on aura , pour Téquation de la trace sur le

plan des x, j,

et l'on voit que cette trace est une ligne droite.

Si Ton fait ensuite 2 = 7 dans l'équation (573), on aura, pour l'équation de la section faite par un plan parallèle à celui des X, j, et coupant Taxe oblique des z à une distancé

égale à 7,

V'x + M"/ = i ( P — N7' — 2N'V) , ou plutôt

Le second membre de cette équation se compose de deux parlies, l'une multipliée par x , et l'autre , fonction de 7 ; cette secondeexprime la distance de l'origine au point où la droite qui appartient à l'équation (5^5) coupe l'axe des 7 , et varie avec 7 . Quant à la première partie , comme la fraction constante qui multiplié X représente la tangente trigonométrique de l'angle formé par la droite avec l'axe des .r, cet angle est donc constant. Il suit de là que la surface , étant engendrée par une ligne droite qui se meut constamment parallèlement à elle-même , doit être rangée parmi les surfaces cylindriques.

676. Enfin la surface est un cylindre lorsque L est nul dans l'équation (566), qui , lorsque M et Q sont de mêmes signes , se réduit à

M/' = 2 Qz«

(*) Ce que nous disons sur ces termes earrés s^applique à tous.

Il serait facile de démontrer que la base de ce cylindre est sur le plan des z, y^ si nous ne jugions pas à propos de changer la position de cette base, que nous avons précédemment supposée reposer sur le plan des jt, y. Pour cela , comme le choix des coordonnées est arbitraire , nous pouvons changer xenz et 3 en ;r , et remplacer l'équation (566)

par celle-ci

en supposant toujours que L ^t nul, on tirera de cette équation celle-ci

qui est celle d'une parabole; et en y appliquant tout ce que • nous avons dit (art. 675) au sujet de l'équation (572), on reconnaîtra que, dans ce cas , la surface est un cylindre oblique à base parabolique et reposant sur le plan des ^, /•

677. €onsidérofiS le cas où. tous les termes seraient nuls , hors ceux qui renferment les cai^rés, et où , par conséquent , l'équation (667 ) se réduirait à

des V^ois équations (56i), (562) et (563), il n'y aurait que les deux dernières qui pourraient déterminer un système de points, car la première ne renfermant que de$ carrés et des coefficients qui, par hypothèse, sont positifs, cette équation ne pourrait être satisfaite que par les valeurs

qui ne détermineraient qu'un poini à l'origine. Quant aux deux autres , dans notre hypothèse de P nul , elles rentrent l'une dans l'autre en changeant les signes de la troisième ; alors il ne s'agit

DES CAS PA&TIC. OU l'uNE DES CIKQ SURFACES n'eXISTE PAS. 447

plus que d'examiner quelle espèce de surface donne Téquatiofi

Lx' 4- Mj* — Nz' = o. ^

Coupons la surface par un plan parallèle à celui des x, /, en faisant z =r 7 ; Téquation de la trace sur ce plan sera donc

et nous reconnaissons là celle de Tellipse; écartant davantage le plan sécant de celui des or, j, il est facile de démontrer que cette ellipse s'accroîtra ; car, en opérant comme dans l'art. 666, sî l'on désigne par n et 6 les demi-diamètres de cette ellipse , nous aurons

et nous voyons que plus les deux plaQS s'écarteront l'up de l'autre, en agrandissant successivement 7, plus ces axes s'accroîtront ; de sorte que si, au contraire, on approche le plan sécant de celui des x, jr» l'ellipse de la section diminuera jusqu'à ce qu'elle se réduise à un point lorsque les deux plans coïncideront. Or, l'axe des z, qui est oblique , passant par les centres de ces ellipses, on voit que leur ensemble constitue un cône oblique dont le sommet est sur le plan des x, ^, et dont la base, qui s'accroît suecessivement, est une ellipse; ce cône est représenté par ABC (^g. 124)- Fig.ia4.

678. £nfin, lorsque les coefficients des carrés des variables et ceux de leurs rectangles sont nuls, l'équation (553) se réduit à

et devient celle d'un plan situé d'une manière quelconque, suivant les valeurs qu'on donne aux constantes L", M", N'' et P. Lorsque P est également nul , il ne reste plus que

44B THISORIE DES SÙàFAGES OU SEGONt» OÉDRE.

Si Vcfù. fait z =^ 7, et que par rextrémité de cette ordonnée oblique on mène un plan parallèle à celui des x, y^ on ob> ^' tiendra

•^ ~ "^ îr "^ "" Ir '

et Ton voit que là section faite sur un plan jparallèle à celui des j , x^ sera une ligne droite à angle oblique qui, si L" et M" ne changent pas de signes, formera un angle obtus avec Vaxe des X et coupera le prolongement de celui des y à une distance

--|7- de l origine : plus le plan sécant se rapprochera de celui

des x^ y y plus cette distance , à cause de 7 qui entre dans Son expression, diminuera; de sorte que, quand 7 sera nul, l'équation, réduite à

sera celle d*ukie droite passant par l'origine. Il suit de là que l'équation (576) donnera naissance à une suite de parallèles à l'axe des ^, qui constitueront un plan passant par l'origine et coupant l'axe des x suivant une droite dont l'équation existera entre des coordonnées obliques , à moins que les diamètres conjugués ne se changent en axes rectangulaires, cas oùTéquatiôti deviendra celle de la ligne droite ordinaire.

670. Les surfaces cylindriques et coniques appartiennent à une classe de surfaces comprises sous la dénomination de iurfacei développables , parce que ce sont des surfaces qui peuvent être étendues sur un plan sans duplicatures , c'est-Vdire sans que certaines parties ne se replient sur le développement de la surface, et sans déchirures*

Un cylindre, abstraction faite de deux bases ^ étant regardé comme un prisme d'un nombre infini de faces , si l'on considère deux de ces faces unies par une arête , et que l'une reposant sur un plan , l'autre tourne autour de cette arête , comme

DES S17EFAGES CTLINDRIQUES ET CONIQUES. 449

autour d*une charnière, celle-ci , finira dans son mouvement, par se coucher à la suite de Tautre, et en devenir ainsi la continuation. Ce que nous disons de ces deux plans s^àpplique à un troisième, à un quatrième, etc. , qui, en se développant successivement , formeront une surface couchée sur le plan.

U en est de même du cône , considéré comme la limite des pyramides.