CHAPITRE XVI

Des plans tangents aux surfaces courbes du second

ordre.

680. Nous avons vu (art. 671) que l'équation générale des courbes du second ordre est toujours susceptible id'étre dépourvue des termes qui contiennent le rectangle des coordonnées, sans que cette équation perde sa généralité; nous poiHrrons donc la mettre sous la forme

Az" -f- Bj* -I- Ca:' -h Dz -H Ejr -H Fx 4- G = o. . (577)

Par un point O, pris sur la surface {fig, 225), faisons passer Fîg.aaS. le plan 01, dont Téquation est, en général,

Ljc H-M j' 4- Nz -f- P = o (578)

Il s'agit de déterminer les coefficients de cette équation par les conditions nécessaires pour que le plan devienne tangent à la surface courbe, au point O {fig^ 2^5). A cet effet, menons par le pointO deux plans OQX', OQY' parallèles, l'un au plan des a:, z, et l'autre au plan des 7, z ; ces plans couperont la surface suivant les arcs ORX', OSY', et le plan OHIK suivant les droites OH et OK : or, il est évident que si le plan est tangent à la surface, les droites OH, OK devront être des tangentes aux arcs ORX',

4âo THÉORIE DF.S SURFACES DU SECOND ORDRE.

i'* OST'j car si cela n'était pas, le plan OHIK couperait la surface courbe.

Cela posé, les coordonnées du point O étant représentées par a, ^,7, elles satisferont à la fois à l'équation (577) de la

surface et à Téquation (578) du plan ; on aura donc

^{^-«) + ^ix-P) + {^-y) = o.. . (58o) Les plans OQT' et OQX' ayant respectivement pour équations

les sections OSY^ et ORX' s'obtiendront en substituant successivement ces valeurs de j? et de j dans l'équation (579), et Ton aura

i)e même, en substituant successivement a: = a et x = p dans l'équation (58o) du plan OHIK, on obtiendra, pour les équations des droites OK et OH,

Déterminons maintenant les coefficients —9 ^ par les condî-

tions que les droite^ OK , OH soient des tangentes aux dourbes

ORX', osr.

Pour cet effet , l'équation (583) étant celle d'une droite OK

YLANS TJÛSOmXS ET COUaBSft DU tBCGSn OEOEE. 4^1

qui pâme par un point a, ^, 7 de la courhe OSY% a^ujettis$on$ cette droite à passer par un second point de cette courbe , alors elle deviendra une sécante; si nous supposons ensuite que les deux points coïncident, cette sécante se changera en tangente. En désignant par a 4- «'> P 4- P', 7 4-7' les coordonnées d*un point commun à la eourbe OSY' et à la droite OK, ces coordonnées satisferont donc à leurs équations (583) et (58 1 ), et Ton aura

A (277' 4- 7'») -f- B(2pp' -h P'*) + D7' 4- E p' = o.

Éliminant 7' entre ces équations , ordonnant ei^^suite par rapport à p\ et supprimant le facteur coAmun , on trouvera

+ BJp'-~2A7^H-iBp-D^-f-E=o,..(585)

P' étant la différence des coordonnées des points de contact , dans le -sens des f ; cette différence devient nulle lorsque ces points se réunissent et que la droite devient tangente : on a donc 9 dans ce cas, ^' = o , et l'équatien (585) nous donne

M^aSp 4- E ^ N ^ 2A 7 4- D

En traitant de la même manière les équations (582) et (584)) on trouvera, pour la valeur du second coef&cient ,

L 2Ca 4- F

N 2A7 4-D Si Von substitue dans Téquadon (58o) les valeurs que nous

venons de déterminer pour - et pour — , nous trouverons ,

pour l'équation du plan tangent au point a, p, 7,

(2Ca4-F), , 2Bp4-E, ^, , ,

OU , en faisant évanouir les dénominateurs ,

{2Ca+F)(a:— a)-|-(2;Bp-i-EXr— 6)+(2A7+D)(z— 7)=:o.(586)

681. Les équations de la normale au point (x., p, 7 de la surface peuvent se déduire facOement de celle du plan tangent : en effet, les équations d'uiie droite étant

pour qu'elle soit perpendiculaire au plan de Téquâdon (586) , qu'on peut mettre sous cette ferme

(aCa -hF)a: -h (2BP -f- E)^ H- (2A7 4-D)z+ K =r o;

il faut qu'enti*e les coefficients des variables , il y ait (art. 575) les relations

2Ca-f-ï'=fl(2A7 + D), 2Bp4-E=:6(2A7-f-D). .. (588)

^a normale étant assujettie à^ passer par le point a, p, 7, les équations (587) deviennent, dans ce cas,

X — OÈ = fl (z —7), j — p = ^ (z — 7) ;

substituant dans ces équations les valeurs de €x et de ^, tirées des équations (588), on obtient

^ 2BS-f-E, ,

telles sont les équations d'une normale au point « , . § , 7 .. donné sur la surface courbe du second ordre.

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