ARCS PLUS GRANDS QUE LA GIRCONF. ET ARCS NEGATIFS. 4^S

et en désignant par a Tare positif AM^ le premier de ces arcs sera représenté par — 2 tt -f- a , et ""le second le sera par

— TT — a\ et si nous ajoutons successivement à ces arcs une fois, deux fois, trois fois , etc., la circonférence négative — 27r , nous aurons ceftdeux séries d'arcs négatifs :

— 27r-f-û, — 4^ + ^> — 67r-+-«5 etc.,

— TT — a, — Stt — «, — Stt — rt, etc.

A regard des arcs négatifs des sinus P' N' et PN , puisque Tare positif ADBN', qui détermine le point N', est ii, Tare négatif ^N^, qui déterminera le même point , sera

ANN'=— aTT + a.

Quant au point N , l'arc positif qui le détermine étant représenté par' A6N , l'arc négatif sera la distance au point A prise en sens inverse, c'est-à-dire sera — AN ou — « , et alors on aura les deux séries suivantes, en ajoutant successivement

— 27r aux expressions — 27r-h« et — «, qui les commenceront : ^

— 27r-f-a, — 4^ + ^> — 67r-f-«, etc., . — fl, — 27r — a y — 4^ — ^> — .6^ — ^> etc.;

et l'on voit qu'elles peuvent se déduire des termes généraux

— 2/l7r-f-/ï, ' — 2/l7r — fl, etc.

NOTE DEUXIÈME. (Page 14.)

Des tangentes d'arcs plus grands que la demi-circonférence.

Lorsque Tare dépassé la demi-circonférence sans avoir atteint les I de cette circonférence, la tangente redevient positive , puisque le rayon OM qui se termine à l'extrémité M de l'arc ne peut que rencontrer la tangente sur son prolongement ; ce qui montre que la sécante OT {fig, 227) redevient positive. Fig.227

2^56 NOTE TKOtSiÈME.

D'ailleurs, la formul^ (2) ( page 6) , dans laquelle le rayon r

est pris pour unité , nous donne,

— sinâf tang^ = , quantité positive

Enfin , lorsque le rayon a parcouru les trois quarts de la circonférence, la sécante prenant là direction OC est parallèle à la tangente AT', qui devient l'infini négatif, puisque toutes les valeurs de la tangente qui ont liçu au dernier quadrans sont négatives; mais, lorsque l'extrémité de Tare tombe entre les points G et A , la tangente AT' et la sécante OT' deviennent négatives et vont en décroissant. ^*

La formule tang a = ^ peut nous conduire a la même

^ cosa

conclusion ; car, pour Parc-f- 2 7r, le sinus et le cosinus étant res-

pectivement — i et o , on a , dans notre hypothèse de « =|7r ,

sin a = «in | tt = i , cos -l tt = o ;

substituant ces valeurs dans celle de tang a , nous trouverons

tang|7r = — |=—co-

Si dans les formules (3) , (4) et (5) (pages 6 et 7) , on donne au 3inus, aju cosinus et à la tangente les signes qui leur conviennent , suivant les arcs de cercle auxquels ils appartiennent , on pourra reconnaître facilement les signes qui doivent affecter la sécante , la cotangente et la cosécante qui répondent à ces différents arcs.

NOTE TROISIÈI^E. ( Page 17.)

Seconde solution du problème de tmui^r le sinus et le cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs.

Fig.228. Soit CD {fig. 228) le rayon des tables que nous prendrons

pour unité ,

AD = tang a , DB = tang 6,

SIKUS ET cosinus DE LA DIFFÉRENCE DE DEUX ARCS. 4^7

nous aurons nécessairement

AC = séc a , BC = séc b^ AB = tang a + tang b.

Outre ces lignes , nous avons encore CD, qui a pour expression AG cos a (art. 55 ), ou plutôt séc a cos a^ en mettant la valeur de AC. Cela posé, nous avons

aire du triangle ABC = | AB X CD = | (tangii + tang é) X CD ;

et , en lAettant la valeur de CD , »

aire du triangle ABC = \ (tang a -f- tang ^) X i ;

d'une autre part, abaissant la perpendiculaire A£ sur le côtéCB, cette perpendiculaire aura pour expres^on

ACsinC;

et , en remplaçant AC par séc a et angle C par angle (a -f- b) , la perpendiculaire AE deviendra

séc a sin {a -\-b)j

et nous aurons cette autre expression de Faire du triangle ABC:

aire du triangle ABC = |CB X AE i= y séc ^ X séc a sin [a-^-b) .

Égalant ces deux valeurs entre elles et 'supprimant le facteur commun y, il restera

séc b séc a sin (a -+- A) = (tang^i -h tang b)\

d'où l'on tirera

. , ,. tang a tango , .

sm(a-H^) = ^T— 1 -h -7-r^7 — [à]

^ ^ sec a sec 6 sec b sec a ^ '

Or, en vertu des équations (2) et (3) ( page 6 )y dans lesquelles * /•=: I , on obtiendra

tang a . I ,.

— r-^^— = sm « , -: — = cos a \p)

sec a sec a

Au moyen de ces valeurs , l'équation (a) devient

sin (a -4- è)= sin a cos b -+- sin b cos a (c)

. On trouverait avec la même facilité le sinus de la di^érence de

458 NO-VB TRCHftléME. .■ .

Fig. 229. deux arcs ; «ar (y?^. 229), représentant coujoigrs le rayoa par la droite CD /et supposant

angle BGD === a, angle AGD = b, nous avons

aire du triangle ABC = (DE — DA) X t^D, ou

aire du triangle ABC = (tang n — tang ^) X 7 ,

et , en abaissant la perpendiculaire A£ sur le côté CB du même triangle ABC, on a cette autre expression île la surface

aire du triangle ABC = f BC X AE; (rf)

or *

BC = séc fl, AE =: GA sin {a —'6) = séc ^ sin (a — 6).

Mettant ces valeurs d&ns Téquation (</ ) , on a

aire du triangle ABC = -5- séc « séc è sin (a — b).

Égalant entre elles ces deux surfaces et supprimant le facteur commun 7, on obtient

séc a séc 6 sin (a — b) == tang a — tang b ;

d'où Ton tire

tang a tangÂ

sec a sec o secaseco

Réduisant cette équation au moyen des formules {b), nous obtiendrons

sin (a — 6) = sin a cos b — sin ^ cos a (c)

Quant aux valeurs de cos {a -h b) et de cos (a — ^) , on les déduit facilement de celles de sin {a H- b) et de sin (a — ô) ; Fig.a3o. pour cet effet , soit AM (fig, 280) Tare a, menons par le centre 0 les perpendiculaires NO sur OM et CO sur OA , les angles NOC et MOA seront égaux , ^ comme ayant le même

SINUS ET COSINUS DE Uk BlFfàBVlfGE BE DEUX ARGS^ 4^

complément COM; régaWté de "ces angles suffit pour prouver celle des triangles rectangles NQO, MOÇ , dont les hypoténuses sont égales , comme rayons ; donc

QO = OE, NQ = ME,

ou , à cause des parallèles égales

or, le sinus d'un angle obtus étant le même que celui de son supplément., (m y|iâti[ue NP et OP sont les sinus et cosinus de TâTiigle obtus NO A , et que ce dernier, tombant sur le prolongement de OA , doit être négatif. Les équations (/) nous donnent donc

sîn NOA = cos^ , cos NOA =r ^ — sin « ; . ... (g)

et, en observât que l'arc TVA , qui est la mesure de l'angle NOA, équivaut à 90® -f- a , les éouations {/) reviennent à

sin (90® 4- «) =£ cos a , cos go® -h « = — sin «. . (h)

Faisons <z= a+ 6 , çt substituons cette valeur dans la première formule des équations (h) , nous obtiendrons

sin(go*>-|-a-l-^) = cos(«-f- ^); (i)

changeons ensuite a en 90** + a dans la formule (c) démontrée plus haut , on, trouvera 4

sin(90<*-+-a-f-è) = sin(go<»-h«)cosô-|-sinAcos(90°-f-«);... (y)

remplaçons les quantités renfermées entre les parenthèses par leurs valeurs tirées des équations (z) et (A), on tombera sur la formule connue

cos (a -h b) = cos a cos b — sin a sin b.

A l'égard du cosinus de la différence , pour le trouver appelons a l'arc MC {fig. aSo), nous aurons

arc CA — arc CM =: arc MA ;

460 NOTB TROISliME.

et, par conséquent ,

sin(90*' — û) = coso, cos(90® — a) = — sina; . (^j

nous disons précéder le sinus du signe négatif, parce que ce sinus, représenté par MQ ou plutôt par OP, tombe sur le prolongement de OA.

Changeant a en a — b dans les équations (/r) , nous aurons

sin(90<'— «-h^) = cos(fl— 6), cos(90»— a+ ^) = sin («-^); . . . (/)

remplaçant ensuite a par 90° -h a dans la formule (e), cette formule deviendra

sin(go° — a-^b) = sin(go" — a)cosb — cos^o" — âsin^);

éliminant les quantités comprises entre les parenthèses , au moyen de la première des équations (/) et des équations (A-), nous obtiendrons

cos (a — b)z= cos a cos è + sin cr sin b.

NOTE QUATRIÈME. (Page 20.)

Fig.23i. Le rayon d'un cercle étant donné ( fig. 23 1), trouver le côté d*un polygone régulier inscrit à ce cercle d'un nçmbre quelconque de côtés.

Nous commencerons par Theptagone , parce que l'équatioii est plus simple.

La solution de ce problème dépend de celle-ci : Un triangle scalène étant inscrit dans un cercle , déterminer le rayon de ce cercle en fonction des trois côtés du triangle.

Pour cet effet, menons par le sommet de l'angle B {Jig. 23 1) la perpendiculaire BD sur le côté opposé à cet angle , et par le centre O la parallèle FE à BD; cette parallèle étant une per-

CÔTÉ d'un POLYG, &EGUL. EXPRIME EN FONCT. DU RAYON. 4^*

pendiculaire abaissée du centre sur la corde AC , passera par le milieu £ de cette corde ; enfin , si du centre on abaisse également la perpendiculaire OG sur le côté AB , elle rencontrera également ce côté à son milieu G. Gela posé , soient

CB = 2âf, AC = 2^, AB = 2c, ADz=x, DB=j.

Les triangles rectangles CBD , ADB nous donneront