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CÔTÉ d'oIT POLYG. aÉGUL. EXPRIME EN FONCT. DU KAYOVf, 463

remplaçant y par sa valeur^ donnée par l'éqnaticm (6), on aura

maintenant il est facile de voir que si nous désignons par r le rayon du cercle , on pourra obtenir la valeur de ce rayon en fonction de x au moyen de cette équation

AO^ = AG^ -h G0%

ou r» = c'+ ^.^ Z.

réduisant le second membre au même dénominateur , supprimant les termes qui se détruisent, et mettant ensuite ^c^ en facleur commun , on trouve

mais réquation.(a)'.noi]^ donne

substituant cette valeur dans inéquation (/), cette équation devient

A regard du dénominateur qui contient encore a: y si Ton y met la valeur de cette inconnue tirée de Téquation (a) , le second membre de Féiiuation (g) deviendra

4c** — jp' = 4^ — Ti -^ ' • • ' {")

ou , en réduisant au même dénominateur,

, Ac^ b^ -* (e^ -+- ^>^ — à^y 4c'~^'=ï i-^ 1',

464 NOTE QUATRiiME.

élevant au carré la quantité qui est entre les parenthèses , et réduisant, il restera

substituant cette valeur dans Féquation (g) , on obtiendra

Les lettres a, 6, c qui entrent dans cette formule n'indiquent que les moitiés des cotés du triangle. Si nous voulons avoir les côtés entiers , en désignant ces côtés par les lettres a', b'^ </, nous aurons

substituant ces valeurs dans l'équation (/), et supprimant le diviseur commun 4 , il restera

^ "" 2ci'» V + 2âf'» c'2 + ^h'^ d-" — a!' — b"^ — c" '

ou, en supprimant les accents, dès que nous adoptons a^by c pour les côtés du triangle et non pour leurs moitiés ,

Si deux côtés du triangle sont égaux, par exemple b et c , en faisant è = c, Téquation (j) se réduit à

Si les trois côtés sont égaux, la même équation nous donne

ctj^K d'un polyo. bégul. exprimé ex fonct. du rayon. 4^5

Les équatioils (/) et (/) peuvent nous fournir les moyens

de trouver facilement les équations des polygones réguliers

inscrits de sept et de neuf côtés. En effet, soit {fig^ 282) un pj„ ^^^

heptagone régulier inscrit dans un cercle. Ayant mené par les

points A, B, C les trois cordes AB, CE, CA, les cordes AG et CBj

soutenant deux arcs égaux, sont égales: représentons-les par d

et c", et nommons d" la coi*de AB qui soutend un arc triple ; si

nous pouvons déterminer c'= c" et c'" en fonction de la corde c

iet du rayon r, il ne s'agira plus, pour avoir Téquation du po- ^

lygone de sept côtés, que d'exprimer d etc"' en fonction de t

et de r, et d'en substituer la valeur dans l'équation \k).

Pour avoir d =: d' en fonction de c et de r, le triangle rectangle ADE nous donne

AE» = AD' — DE^ [m)

.T. AC d

or AE = — = - ;

et la corde étant moyenne proportionnelle entre le diamètre 2 r

et le segment DE , nous avons

DE = — , ir

. substituant ces valeurs dans l'équation (m), nous obtiendrons

et en réduisant au même dénominateur,

,: ou c"' = il--.-^(*) {,,)

A regard de la corde AB qui soutend un arc triple [fi§. 233)^ Fig.a33.

^us avons