CHAPITRE VI

Des logarithmes.

M . Les premiers mathématiciens qui employèrent les logarithmes ne virent, dans cette utile invention, qu'un procédé arithmétique qui convertissait la multiphcation en addition, la division en soustraction , et l'extraction des racines en division. Il appartenait à Euler de présenter cette théorie sous un plus vaste point de vue , et ce fut en réfléchissant sur les propriétés remarquables des exposants , et en complétant la théorie des quantités algébriques , qu'il s'éleva à ces hautes considérations. »

Les exposants ne furent d'abord destinés qu'à indiquer, dans les nombres entiers , combien de fois un produit renferme une quantité comme facteur. Ainsi , au lieu de aaaaa et de aaa^ etc. , on écrivit a% a^, etc. ; et par la même raison que aaaaa X aaa = «% on dut avoir a * X «^ = a*+% et en général «'"X «" = û"**". De là on établit cette règle, que pour multiplier une quantité affectée d'un exposant par la même quantité affectée d'un autre exposant , on doit donner pour exposant à cette quantité la somme de ces» exposants.

52. On observa encore que , lorsque dans une quantité exponentielle «*", la puissance m était divisible par 2, par 3,

DES LOOA&ITHlfBS. 33

par 4) les racines carrées ^ cubiques, quatrième de a", étaient

représentées par a^ , par a * , par «* , etc. ; car si , par exemple, 711 = 6, il est évident que a^ = aaaaaa doit avoir aa = a^ pour racine cubique , et aaa = a ^ pour racine carrée. On reconnut ensuite que ce principe pouvait même être appliqué à des exposants qui n'auraient pas de diviseurs. En

effet, quelle est Tidée attachée à un radical , tel que ^? c'est

que, pour élever ^ à la puissance /i, il faut écrire a. Or,

quand on écrit a", la même convention existe, puisque éle-^

ver a" à la puissance n , c'est remplacer a" par a; d'où nous

conclurons que ^a et a" , étant les représentations d'une même opération sur a , doivent être traités comme des quantités égales : nous aurons donc, par exemple ,

slaz=zâ^^ ^^=za^, sf^^=ia',

iSS. D'après ce qui précède, nous ne pouvons donc d'abord établir que ce principe sur les exposants fractionnaires^ :

Pour élever une quantité affectée d'un exposant fractionnaire à une puissance égale au dénominateur de cet exposant , supprimons ce dénominateur,

iS4. Partons donc de cette seule propriété pour démontrer que

fl«X «^ = «" ^ ; pour cet effet , soit

nous tirerons de cette équation ,

34 TaiOOVOXéTKIE.

faisant ensuite a" = C , et — = D.

Si nous élevons la première de ces quantités à la puissance n , et 1^ seconde à la puissance q, nous aurons

d'où nous tirerons

^m — pn — T\q

«'^rzrC''^ ^=I>"^; (^9)

• or, en vertu de l'équation (58) et des deux qui la suivent,

C=:D; donc

ce qui montre que les premiers membres des équations (Sg) sont égaux , et qu'on a

rt»? = — ; et, en chassant le dénominateur,

OU , à cause des exposants entiers,

tirant la racine nq des deux membres, on trouve *

mq-i-pn B= a "9 ;

mettant c«tte valeur de B dans Féquation (57) , il vient

m p mq-i-pn

a^^ai = a '^ ; (60)

et si Ton fait attention que la somme de deux fractions composées de dénominateurs différents ne peut s'évaluer qu'après les avoir réduites au même dénominateur, on pourra rempla-

DES tiOC\1lITHMF.S. 3S

cer le second mçmbre de Téquation (60) par a" ^, et cette équation deviendra '

a^^a^ z=za^^l. (*) (61)

8^. Il suit de ce qui précède , que soit que les exposants m

et n représentent des nombres entiers ou fractionnaires, on a

toujours

La théorie des logarithmes repose entièrement sur cette propriété des exposants ainsi généralisée , comme nous allons * le voir.

86. Le logarithme d'un nombre y est la puissance x à laquelle il faut élever un autre nombre a , toujours fixe, pour

qu'on ait

Le nombre dont a tient la place est ce qu'on appelle la hase du système de logarithmes. Cette base , une fois choisie , sert à calculer, dans ce système , leç logarithmes de tous les nombres.

{J7. Adoptons, par exemple, 10 pour base; l'équation (63)

{*) Pour compléter cette théorie des exposants, nous ajonteroDS que réquAtion générale «*+»» = a»» x «f* nous fait Toir qu^en divisant le («eond membre par 0" , c'est diminuer Texposant du premier membre de n anités.

D^où il suit ^ue quand m = o, c'est-à-dire quand nous afons a" = ixa", en divisant par a" le second membre, et en diminuant I^exposant du premier de n unités, nous aurons

Eofio , si dans cette dernière équation nous divisons encore les deux membres par a" , en continuant d'opérer de la même manière, nous trovrermis

flO-rt ou a—" = —

deviendra y = ^^'y

et si nous faisons successivement

nous trouverons ces valeurs correspondantes par y,

^ — io*= 10,

^=10*= IDC, j = 10^ = lOOO, ^ = 10* = lOOOO.

Ainsi le logarithme de i est o,

le logarithme de 10 est i , le logarithme de 100 est 2, le logarithme de 1000 est 3, le logarithme de loooo est 4*

T9ous n^avons donc, depuis i jusqu'à 10 mille, que cinq logarithmes ; ceux qui appartiennent aux nombres intermédiaires manquent, parce qu'ils ne peuvent être compris que dans les nombres fractionnaires.

58. Par exemple , les logarithmes des, nombres entiers com« pris entre i et 10 se trouveront entre o et i ; mais comme entre o et i on peut imaginer un nombre infini de fractions , il y aura une infinité de puissances fractionnaires qui tomberont entre o et i, et parmi lesquelles seront les logarithmes de 2, de 3 , de 4 9 d^ 5 , de 6 , de 7, de 8 et de 9 ; il en sera de même des logarithmes qui tomberont entre i et 2 , entre 2 et 3 , entre 3 et 4 9 etc.

59, On pourra donc chercher, entrejous ces logarithmes, ceux que nous représenterons par a , 6 , 7, etc. , et qui seront

tels que 10*, 10 , lo^ , approcheront des nombres 2, 3, 4, etc.,. à un millionième , à un cent-millionième , à tel autre ordre

DES LOGARltBMES. 3 7

décimal près , etc. , suivant le degré d^approximation auquel Dous voudrons nous borner.

Pour donner une idée de la manière dont un logarithme peut être exprimé par une fraction décimale, proposonfi-nous, par exemple, de trouver le logarithme du nombre 3 : en désignant par x ce logarithme , il s'agit de satisfaire à l'équation 10' = 3. On voit d'abord qu'en faisant j? = i, l'exposant I est trop fort; car cette hypothèse amènerait lo* = 3 ;

essayons y, on a lo"*" = 3 ou lo = 3*, et en élevant les deux

nombres lo > et 3 au carré , il vient i o = g. L'exposant x = y est donc encore trop fort. Prenons un exposant moindre ,

en substituant à x la fraction y» ce qui donne lo^ =3; et, en élevant au cube on obtient 10 = 3' ou 10 = 27: cette hypothèse est encore moins favorable que l'autre ; car mamtenant c'est le second membre qui l'emporte sur le premier, ce qui annonce que nous avons choisi une fraction trop faible. II faut donc prendre une fraction comprise entre | et 7 , et l'on reconnaîtra facilement que f ( Note septième) satbfait k cette condition. L'hypothèse de x = | nous amène 10' = 3\ et par conséquent 1000= 2187 ; ce qui montre que le second membre l'emporte encore sur le premier, et que la fraction j est encore trop faible.

Sans aller plus loin , on voit qu'en diminuant ou en augmentant successivement la fraction qui est la valeur de j: , de manière que les deux membres de l'équation tendent vers régalité, on s'approchera de plus en plus du logarithme de 3. Si Ton réduit ensuite cette fraction en décimales , et qu'on néglige les chiffres décimaux qui sont au delà du septième, on trouvera, comme dans les tables ordinaires,

log3 = 0,477 Ï2i3; et l'on voit que ce logarithme n'est autre chose que l'exposant de 10 , dans cette équation app;:Qximative ,

38 TAIGONOMÉIHIE.

Il est à observer que le procédé que nous venons d'indiqfer, uniquement pour faire concevoir la nature d'un logarithme, n'est bon qu'en théorie; car si l'on voulait en faire usage , il entraînerait dans des calculs trop laborieux et presque impraticables ; tandis qu'il est des moyens beaucoup plus courts pour parvenir à ce but ( Note huitième) , surtout si l'on fait usage du calcul différentiel.