IL
et aij&i de suite pour les soutendantes d'un plus grand nombre de côtés .^En résimic , nous avons pour celles
de 2 cordes, c '- rs-î — * ; de 3 cordes, c'" =r :
de 4 cordes f c^^ -=1 ^ — ^ — ; de 5 cordes, r^
* e iC • ,
470 HOTE. QUATRiiMX. .**
de sorte que lorsqu'on aura une soutendanted*iQ^ nombre /z: de cordes égales, on trouvera immédiatement la scu^tendantë' d'un nombre /z + 1 , et Ton introduira dans ces soutendantes les valeurs de c\ de c^, de c»*', etc. , en fonction de c, diaprés ]es formules précédentes.
Mkintenant, pour av^ir l'équation d'ua'polygone d^un nombre n de côtésy je partage ce nombre h en trois parties m, /?, q ^ et y daiis l'équation ' (y), je substitue aux côtés a, b^ c trc^/, cordes. Tune soutendant un nombre m àe côtés , Tautrç ui^ .' nombre /?, et la troisième un nombre g.
L'équation (Â) peut nous faire parvenu encore plus prompt tement au même résultat, en partageant le nombre n en trois parties, dont les deux premières soient égales entre elles.
Quant au cas de l'équation (/), il n'arrive que*lersque le nombre n est divisible par 3. f
Nous terminerons cette note en démontrant que le dénemi-'^ Dateur de Téquation (yj peut se décomposer ^n facteurs sim- . 1 pies du premier degré. Pour cet effet, changeons mom&jfif^ément les signes de ce dénominateur, et in^ttons na^ dh/^çur commun , nous aurons • * " '
a* -+- b' -h'c" — 2«^ (b^ -4- c*.) ^ iib'c\ 5- .. . ■ ': ^k^ *•
Observant que a* -rr- 2a^ {b^ -hc-) sont les deux. ^ prennes termes d'un carré qui a pour expression *.
a* — 2flf^ (6' 4- ç2) -^ (i» ^ ç3y^ . .^
ou , $n développant , ^ . ' ?"' '*^
Si Ton compare ce carré à l'expression (2^) ^ à laqu^Ue'oii joillr dra a^'c'y- 2Ô«r% nous pourrons Ja mettre sous^aette forme
{a' -— 2a' b' — 2rt»c' -f- ^* -t- 2^»V 4I c*) — 4^V ; et, en indiquant seulement le carré , elle deviendra
COTÉ D UN POLYG. EÉGUL. EXPUIMË EN FONCT. DU RAYON, ^n l
quantité qui , étant la différence de deux carrés , pourra se décomposer ainsi :
écrivons le premier facteur de la sorte :
flJ — (^2 ^ 2^^ ^ ^2j.
ou, parce que ce qui est entre les parenthèses est un carré
parfait ,
a^^{b-\-cy;
cette différence des deux carrés peut donc se décomposer ainsi :
A regard du second facteur de Texpression (v) , écrivons-le de
cette manière :
a' -^ {b' -^ 2bc -h C )
ce qui revient à
a^-^(b — cy ;
et , comme nous avons eacore là une différence de carrés , nous décomposerons ainsi ce second facteur
remplaçons les deux facteurs de l'expression (y) par les valeurs que nous venons de trouver, cette expression deviendra
{a-^-b '•\-c){a — ^ — c) (flr -+- ^ — c) (« + c — b).
En changeant les signes de l'un des facteurs (ceux du second
par exemple), le produit deviendra d*un signe contraire; par conséquent, nous rétablirons les signes que nous avons changés dans le dénominateur du second membre de l'expression (y), et nous aurons , pour ce dénominateur,
(rt 4- ^ -h r) (// + r — /?) (/7 4- r — b) [a -^ b — c);
47^' WOTE CINQUIÈME.
nous voyons que la partie négative du second , du troisième et du quatrième de ces quatre facteurs est successivement a ,
NOTE CINQUIÈME. (Page 22.) Déterminer le sinus et l'arc de 3 degrés.
Il existe deux sinus de petits arcs faciles à déterminer : ce sont ceux de 1 8 degrés et de 1 5 degrés. Lorsqu'on les a obtenus, ainsi que leurs cosinus, les formules (24 ) et (25 ), prises avec le signe inférieur, nous feront trouver le sinus et le cosinus de lejnr différence , c'est-à-dire ceux qui appartiennent à un arc de 3 degrés. Pour parvenir au premier de ces sinus, remarquons que la moitié du côté du décagone régulier étant le sinus de la vingtième partie de la circonférence, comme ce sinus est de 18 degrés, nous obtiendrons, d'après l'art. 143,
sini8o = |(~|r-^lr>/5)(*),
ou sin 18*» = { /-(— I -h V^) {a)
Le cosinus d'un angle étant donné par la formule (i) (page 6), nous déduirons de cette formule
com8"= v/f*^ — si^^i8° • {b)
Nous ne prenons le raiiical qu'avec le signe positif, parce que nous supposons que le cosinus tombe à droite; et comme nous devons remplacer le second terme du radical de l'équation [h) par le carré du sinus de l'équation {a), nous trouverons
8in^i8"==:^-r^(6— 2v/5),
ou sin^i8" =,--->- ; \ . [e)
(*) On a vu«(àrt. M4) ce que signifie la seconde valeur du radical.
iittrod^sant cçtte vulear sous le radig^t de réquâtion ^h) , on a
mettant r^ en dehors du signe, un obtient
cos iS*» = I r Vio -h 5 \/5. '
A regard du sinn^ H& i5 degrés, noos avons vu (art. 40) que le 9iau^ de '3o degrés était égal à la raoitié du rayon ; on a donc ■ , .
„ sin3o° c^'î/-^; .
substituant cette valeur dans la formule (i) (page 6), et réduisant, nous trouverons
cos So*» y ^;^-Jir%
ou cos 3o« =3 r VTpn ^ - V3 ;
mettant oette valeur de co^ âo degrés à la place de cos a dans l'équation ( 3o} '( page 1 8) , c'est-à-dire dans celle-ci ,
^* * (sin I «)* = -^ /- (r — cos ^) ,
nous aurons
ou sinM5** = |r*(2 — s/^)., . (d)
et en extrayant la racine carrée,-
sin i5" = -5'/' V2-^ \/3.
D'un autre côté, si la valeur du carré du sinus "de i5 degrés est substituée dans la formule
cos a = \^r'^ — sin- a ,
474 ■ BTOTE SIXIÈME, t •
tirée de .réquati^n ( i ) ( page 6 ) ^ on traayera
M - m^mn'^ C *
. - co$ iS*' =r V ^ T V S^
■m jT ' ' " ' '»
OU C09 i5f = - V 2 -V s/3 ' .
substituant cet ^atre valeurs des sinus et Qdsimis de i8 et de i5 degrés dans la fonnule (24) , prise av^fc^le signe inféiieur, nous obtiendrons • * *
sin3"=:^-rj(— i + V^5.)v/a+V^— T'- ^2— v/3\/io-t-2 v^5.
On pourrait axissi determinar l^rc ou r^gl««4e 3 degrés ; car le coté de Thexagone conrespoiidant à un angle de 60 degrés, et celui ^du déea^ne à «n angle 'de 3$ d^rés, si Ton retranche Tim de ces angles de Faulr^, on auraTangle, et par consé<]bei^ l'arc 9e 24 > et en divisant cet arc de moitié en tnoitié/ on parviendra ,|)aT.le mo3f!eii de ta simple géométrie, c'est-à-dire sans em^byer autre chos< que la règle et le compas , à Tare de 3 d^^s. *
NOTE SIXIÈME. (Page 3i.f '
Démontrer que la différence du sinus à l'arc est moindre que le
cube de' cet afc.
En prenant une limite moindre que celle que nous avons donnée (art. 48 \ et nous .bornant seulement à démgntrer que la différence du sinus à Tarcî^t moindre que le cube de Tare-, oft parviendrait encore à un^ approximation très-grande de Li valeur du sîniil. En effet , dès qu'il est prouvé (art. 48) que , Tare est moindre que la tangente , nous aurons donc
a <^ tang a ;
et en représentant par le nombre positif 0 la différence, on peut
