I.1MITË DE LA DIFFÉRENCE EBTTRE l,E SINUS ET t'^EC. ^'jS
établir cette équation :
-n -^ i ^ tang a ,
ou . a -i- ^ 3t= -; ,
,**»'. . cos ^ ^ *•
en chassant le dénominateur,
a cos « H- S cos a ±= ùna] et, en nfihi(ilhi]i,kfi|jr,^ifi^,
' a cos'flr -f- 0 c^s^a ri ^/3? cos/r.
*Maiai cosa étant moindre que le rayon que nous prenonys pour unit^^ aiia iiurp«ss^ra'sin a cosa ; nous re^rderons donc eos a^ PQ^oân^nle fraction qui tend à «diminuer la valeiir d^ sin a ; par conséquent , ea remplafiint le second membre <^e cette ^ équation par sin a , il faudra, ^our maintenir l'égalité , âugmenter la^premier membre d'u^e certaine quantité positive s , fet ooip aurons l ^ -• •
^ ■ .«' a cos-rt H- ê cos 'a -f- « raftsinfl?;
^^t en reibplâçai^t cps V par i — sin^ri , nous aurons , n (i — -sin-'* a) -f- ^ cos'rz ^ ^ = sin^ ;
on tiré de Ki , en efEq^tuant la nî^lipl^tion indiquée par a SnX en transportant sin a 'dans le premier membre , et a sin^ a
ida^s le second : . "•'
rt — sin« -h- ^ oos-« H- e = « sin*«;
siyyprimant la partie ^^cos^^rfi-f- e,. qi<i est essentiellement positive, il restera -* . * .. '*
et comme «^est plus grand que a sin'« , parcç que l'arc surpasse le sinus, on aura , à plus forte raison ,
a — sin « <;^ «^
476 KOTE SEPTIEME.
Si, gdur opéi^r sur moins de décimales » la valeur de jrt^ exprimée par reqaation (56) , est réduite à . «
nous trou^a^ons
«'ou^'^ ==3' o,'oooooooooo246iîi ; ^'.^ Ir .
et Toir voit -qtt'on peut^eganler la différence du Anos à Vipt conune liullei, si Ton ne (>rend pas plus de 10 décifK9J6i|. ^*
NOTE SEPTIÈME. (Page 37.) * ; ' *
Mojen d'exprimer* en petits pambres une fraction jfinfhse ^ t 'entré âttw attiris* • ' w
La nanière ordinaire de trouver une fraction comprise entre • I et I, en lÀ réduisent d'abord au raéme àénoniinateuf,*con- 4uisant à 4e& fractions exprimées en chiffre^ trop f<Jnsi .je «ne suis %i^i«de^«e moyen très^sifiaple ponr ne paa. tomber da&s cet inconvémeo*. ; -♦ " , * '
* . A.yant adopté un nombre qui s*écatie peu des d^^ominiiteurs a et 3 ;• le nombre 7 par exemple , je représente par x leijfumé-' rateur qui auinit 7 pour dénominateur, e» j*é<Jris ainsi ilies l^j^is '^ fractions : ' . ■ •*
opérant comme si je voulaisies réduire au même déndt{iriateur , j'obtiens pour les numérateurs . *
et je vote qu'i^u'y a pour x-que la valent 3 qui rende 6jc plus graad que 14 et moindre que 2 1 , d'oîi je conclus que la fraction
cherchée est |.
,'\ , DÉTERMINATION d'uN U)G4RITnME PAR LES SÎRIBS. 477
•.^: * INOtE HUITIÈME. ( Page 38. }
'^ Ptfipcnirà la série convergente qui donuf h logarithme dea^-^i
se
•p^-e€i -procédé jpour rendre logarithmique une forniule qui i '-"^ ^:pfésente sous lit forme d'une somme ou d'une différence,
■^Pour trouver le logarithme tie \'*-\-'x^ on cherchera d'abora
' ^fe développement de log (i -Jr j^ en'égalant ce logarithme à une
^^uite de termes ^ordonftés suivant Ws puissances ascendantes
de«*, et r<m au^a •' •
log (r 4- j;) r= a -f- ^x 4-.7^^ -^^x^ -f- i:c* -h etc.
^if aifent :r = ^, celle équation nous donnera
%V * a =;: log I.
Maïs le logarithine de i étant o , on voit qu*îl n'y a poihf de terme constant dans le développement, de log ( i -H ^) ; il est • m^dôncde la forme , *^ . *
' ' ^•^ log«(i -hx) =^af.-h Bx^ -\- Cx"^ -+- kc.r,; . . . (a) • *# * ■ ■*
* changeant a: en s, on aura pareillement ^
M>^^ 4- *) = A2 -f Bz^ -4- Cz^ -i-^z^ ^etc. ;.. ., {ij\ ii étant arbitraire , nous pourrons supposer qu'il y a entre j:
;t z la relation
;A.. . . . .'■' [i-hx-y- l-h,z;
V fôwy en développant,
d'où l'on tire
i -+- 2^'-ih x^ =z i -^ z; ^
Substituant cette valeur dans l'équation (b), nous trouverons
log {i-^x) — A(2X-{-x'^)4'B{'?.:r-^x'Y-hCl%v-+-x''Y-^e[c^ ■
48o 1V0TE HUITIÈME.
ceux qui dérivent de l'équation
■■' \of-{i^x) = .i!—- + j~j^^etc {g)
Ces logariAihies porÉ^ aussi le nom de Néper^ leur inventeur, ou oelui d'Hyperboliques^ ^)ar «ne raison que nous avons expliquée en parlant de Thyperbole; ' . " \ Si , à Taicle de l'éqliation f^) ,.noyj» éliminoni^a quantité <|5i ..'est entre les parenfliùses daim l'équation (/), ijous trouyerptris
'log tabulaire <fe (or + 1 ) .= A X ÎCÇ nêpéri^ de ( jr.*4- iV*. » (/s)
-Ûccupoq^-npusioaintenantda logaridimenépérien repl^K^^ par Féqii^ion (g^. Les termes du'second miMfbre de cette é^^ition étant alternativemeal positifs et négatifs y nous vpyan$-.que la valeur de log (\r h- i) n'est pas aussi convergente que si'.lses terme^conservaieiif le même signe. Cherchons donc ^'Ù^l^ fsn sorte que tous ces termes soient positifs. Pojor parverajâ^e but, j; étant quelconque, remplaçons sa valeupf)fr ~.r, Té - . quation (/[f) deviendra . , ' ' '\t
et, en retranchant cette ét|uatioi:i de Téq. (g^, nouj^afiSendrons
ÎOg (X-^X) — k)g(l— J7) = 2(^^--hg. ^^■'««C- ) >..t (i)
et ocmme, par la nature des logarithmes ^t. 69)^
log (i 4- ^) — log (l — :p^ =;=:. log ^i^^/ ^\^
