X84 NOTE HUITIÈME

Mais, en faisant x -\~ i =: a dans l'équation (/t), on, tire de

cette équation

/a = ALa ,

et par conséquent

— lîi La

Ce rapport des deux logarithmes étant substitué dans Péquation (o) y on obtient

Il est à observer que, lorsqu'au lieu de prendre les logaritlimes dans les tables, on les prend dans le système népérien, Téquation [n) devient

Lu = L^^'%

et par conséquent donne

L« ='Lal^;

d'où l'on tire ,

ha Le = — :

La'

ce qui montre que ie logarithme népérien du nombre e est l'unité.

Ceci sert quelquefois, daiis la haute analyse, à déterminer une formule de logarithmes ; en effet, si Ton avait, par exemple, cette équation , dans laquelle le logarithme appartient au système népérien ,

oti l'écrirait ainsi

log— ^— =/7fl

log — r = ria log e,

ce qui n'en changerait pas la valeur, puisque , dans le système népérien , le logarithme du nombre e est l'unité , et l'on aurait.

FORBIULES LOGARITHMIQUES. 4^^

d*après la propriété des logarithmes (art. 64) ,

log — ^— - = log 6-"- ; passant au nombre , il resterait

Nous terminerons cette matière en donnant les moyens die rendre logarithmique une expression qui ne se présente pas sous la forme d'un produit; par exemple, si Ton se proposait de

trouver le logarithme de 9 -h v/3 , on sait qu'il faudrait préliminairement chercher en décimales la racine de 3 et y ajouter la valeur de 9 avant de trouver le logarithme cherché ; tandis

que, si nous eussions eu à trouver 9^3 , nous n'aurions point eu d'extraction de racine à chercher, et qu'en opérant par les tables , il eût suffi de prendre le tiers du logarithme de 3 ,

et de l'ajouter à celui de 9 pour avoir le logarithme de 9 y^ . Qu'il soit question , par exemple , de rendre logarithmique la formule a-^b. Pour cet effet , prenant le rayon pour unité , nous emploierons l'angle auxiliaire (p, qu'on apprendra bientôt à déterminer; supposant

b = a tang>, ■ - -• - (p)

on aura

a -{- b = a -h fi tang' «j» =r /? (i -{- tang- cp) ,.

et puisque (ait. 8) la première des équations (6) me montre

que I 4- tang^y équivaut au carré de la sécante , la valeur de

/7 -4- ^ deviendra

^ 4- ^ = « séc-<j) (7)

Pour déterminer «p, F^cquation (p) nous donnera

tang' 9 r- -, a

/^86 ?îOTE HUITIÈME.

(tang(p)^=:- (r)

La tangente qui entre dans cette formule appartenant au rayon i , pour passer à celle des tables dont nous représenterons le rayon parR, nous aurons

I : tang (p : : R : tang des tables^ i : sec y : : R : séc des tables;

donc

tans des tables , séc des tables tang <f = — ^-g , sec ç = ^

Substituant cette valeur dans les équations (p) et (q) , en supposant maintenant que ^ désigne la tangente des tables , on a

/tangy\'/> /sécyV^ a -^ b \T)-a' [-K-}-"^^ W

appliquant les logarithmes à la première des équations (s) et observant que le logarithme de R est la caractéristique lo , nous obtiendrons

tang (f b

ou log tang y = 7 (log ^ — log a) -h lo.

Le logarithme de tang cp étant déterminé par cette équation y on le cherchera dans les tables et l'on trouvera vis-à-vis celui de la sécante. La seconde des équations [s) nous conduirait au même résultat, mais exigerait de plus l'opération préliminaire de réunir ahb avant de prendre le logarithme àca-^-b Partant de cette seconde des équations {s) ,

(sécante y V (« -f-

et passant aux logarithmes , on obtiendrait

log sécante <p = t[ \o^{a-\-b) — logfl] H- lo.

FORMULES LOGARITHMIQUES. 4^7

Pour trouver le logarithme de a — b, on supposera

acos'(p = 6; (t)

retranchant chaque membre de a , on trouvera , en mettant a en facteur commun y

a (i — cos'<j>) = a — by

ou a sm*<f rzz a — b \ [u)

et pour déterminer ep , l'équation ( t ) nous donnera

cos'cp = - (v)

Nous rendrons les équations [u) et (c^) applicables aux tables, en écrivant

,. /sin ©X' /cos ©X' b

passant aux logarithmes , nous aurons

logsin<p=7log(a — 6) + io, logcos(p = Y(logô — logû)-|-io.

Nous déterminerons l'angle ^ par la seconde de ces équations, et la première fera connaître le logarithme de a — b.

Si A et B sont des lignes trigonométriques , le même procédé peut servir. Cherche- t-on , par exemple , le logarithme de

sin A — cotB, on supposera

cot B = sin A sin'^p, et l'on aura

sin A — cot B = sin A (i — sin'^) ,

ou sin A — cot B = sin A cos'<y.

Ayant déterminé Tangle auxiliaire <j) par l'équation

cotB sm-© = -, — -, sm A

on opérera comme ci-dessus.

488 KOTE NEUVIÈME.

Enfin , si Ton a une somme de lignes trigonométriques , comme par exemple

sin A H- séc B — tangC, etc., [w)

on supposera

séc B = sin A tang'y ,

et Ton aura d^abord

sin A -H sec B = sin A (i -h tang-^), ou

sin A -h séc B =r sin A séc-^.

Remplaçant les trois premiers termes de l'équation («•) par ceux-ci :

sin A séc'ep — tang C ,

et recourant à un second angle auxiliaire que nous désignerons par cp', nous supposerons

tang C = sin A séc-ip sin- cp', et nous aurons

ou plutôt

sin A -4- séc B — tang. C = sin A séc*«p cos'<p';

et à l'aide de nouveaux angles auxiliaires , nous continuerions d'opérer d^une manière analogue si nous avions un plus grand nombre de lignes trigonométriques.

INOÏE NEUVIÈME. (Page 96.)

Troiwery par une construction graphique, le rapport approché

du diamètre à la circonférence.

Les rapports approchés du diamètre à la circonférence ont l'inconvénient de faire trop dépendre l'opération graphique

RAPPORT APPROCHÉ DU DIAMETRE A LA CIRCOlVFrRE^ÎCF.. 4^9

du compas de proportion ou d'une échelle de parties égales; tandis qu'une construction géométnque par la règle et le compas peut s'exécuter sans instruments. Pour parvenir à une construction de ce genre , la recherche n'est pas aussi longue qu'elle le paraît d'abord , parce que les relations qui existent avec les côtés des polygones réguliers sont très-bornées. Tout se réduit à combiner des perpendiculaires et des parallèles avec ces côtés , parce que ce sont les seules lignes qui , amenant des triangles rectangles et des moyennes ou troisièmes proportionnelles, peuvent établir des rapports entre le rayon et les différentes lignes.

Prenons d'abord le rayon pour unité; il est naturel, de commencer par l'hexagone dont le côté est égal à cette unité , et , d'après notre observation précédente , d'abaisser la perpendiculaire OD {fi^. 235} sur le côté CB de cet hexagone; Fig.aJS. alors toutes les lignes calculables sont OD, AD et AB. Le triangle rectangle ODB , dans lequel DB est la moitié du rayon , nous donne

OD^rrOB' — BDS ou

et , en tirant la racine carrée , nous avons

â l'égard de AD et de AB , les triangles rectangles AOB , BOD étant semblables , parce qu'ils ont chacun un angle commun , il en résulte que les troisièmes angles OAB et OBD sont égaux. L'égalittTde ces angles prouve la similitude des triangles rectangles ADB , ODB , qui nous donnent la proportion

OD : BD :: BD : ad, od : ob :: bd : AB,

iV3 : 7 : : y : AD , ^^ y^ : i : : } : AE ;

490 irOTE NEUVliME.

donc