En général , si Ton fait a"* = by et par conséquent
a = b^, et qu'on substitue ces valeurs dans l'équation (67 ) , ,
on aura
log b ^= m log è" ; d'où l'on tire
log Ô» = — log Ô , ou log V^ï=: — log^.
Plus généralement encore , faisons s ••
ce qui donnera
prenons les logarithmes, nous aurons
log a"" = log è",
ou, conformément à l'équation (67),
m loga = 71 log by
4^ TmieOHOMéTRIS.
et par conséquent
log fl = — log b ;
remplaçant a par la valeur que donne Téquation (6g), nous obtiendrons' enfin
loe b'^ = — log A , m
ou log v^ = — log b.
Lorsque /i = i , cette formule se réduit à
logV^=:^logZ>,
et aurait pu se déduire immédiatement de l'équation (67 ).
67. Pour en donner un exemple, cherchons la racine cubique de 2 197 . Dans ce cas Ton a /w = 3 et ô = 2 197 . Le logarithme de ce nombre étant 3 , 34i 83o i , j'en prends le tiers, ce qui me donne i , 1 1 3 943 3, logarithme qui dans les tables répondant à i3 , m'annonce que 1 3 est la racine cubique de 2197.
68. Déterminons encore le nombre auquel appartient y' i o " ,
ou 10' \ Multipliant le logarithme de 10, qui est i, par la fraction -j-, cela se réduit à diviser 1 1 par 23 , ce qui me donne 0,4782608 pour le logarithme du nombre cherché.
. 69. Si Ton désigne par x le quatrième terme de la proportion
a \ b :': € \ Xy on a pour ce quatrième terme
bc
par conséquent, conformétnenl à réquation (66) ,
log X = log hc — log a , ou, comme l'indique l'équation (65) ,
log a: = log ô -f- loge — lûga;
ce qui nous apprend que, dans une règle de trois, le logarithme du quatrième terme est égal à la somme des logarithmes de deux termes du milieu , diminuée du logarithme du prétnier terme.
70. Remarquons que ceux qui ont calculé les tables n*ont eu besoin de calculer que les logarithmes des nombres premiers, c'est-à-dire des nombres qui ne peuvent se décomposer en facteurs ; car le logarithme de tout nombre qui peut se décomposer en facteurs égale la somme des logarithmes de ces facteurs. Par exemple, les logarithmes de 2 et de 5 étant connus seulement , on aura
log 4 = ^Og 2^ = 2 log 2 ,
log lo = log 2 ~f- log 5, log 8 = log 2^ = 3 log 2,
log l6 = log 2^ = 4^^ë ^ '
log 20 = log 2' log 5 = 4^og5, log 25 = log 5' = 2 log 5.
71. L'entier qui est à la gauche d'un logarithme s'appelle la caractéristique de ce logarithme. C'est cette caractéristique qui détermine à quel ordre de numération appartient le nombre qui correspond à un logarithme. Par exemple , un nombre compris entre i et lo a o pour caractéristique; un nombre compris entre lo et loo a 2 pour caractéristique'; un nombre compris entre loo et looo a 3 pour caractéristique; un nombre compris entre looo et loooo a 4 pour caractéristique; et ainsi de suite : de sorte qu'un nombre composé de deux chiffres correspond à la caractéristique i ; qu'un nombre composé
44 ' T&IGONOMÉT&IE.
de trois chiffres correspond à la caractéristique 2 ; et qu'en général , un nombre contient autant de chiffres qu^il y a d'unités moins une à la caractéristique.
78. Les logarithmes des produits d'un nombre par les puissances de 10 ne diffèrent que par la caractéristique; car
log 10 a =z log 10 -h loga = I -f- loga,
log 100 a = log 100 -f- log a ==24- log a,
log 1000 a = log 1000 -I- log û H- 3 -I- log a, etc. , etc. , etc.
73. Ceci va nous conduire à trouver un quotient par approximation. Par exemple, pour déterminer à un centième près le quotient de la division
de 12582 par 935,
j'ai log 12582 = 4,0997497,
log 935 = 2,9708116,
Au lieu de chercher dans les tables ce logarithme tel quUl est, j'ajoute 3 unités à la caractéristique , et je trouve que le logarithme de 4 9 1 28 938 1 répond à 1 34 56. Or ce nombre est mille fois trop grand , parce que le jogarithme auquel il appartient a 3 unités de trop à la caractéristique ; je le réduis donc à sa juste valeur en écrivant 1 3 , 456.
74. £n général, on retranche autant de chiffres sur la droite qu'on a ajouté dHmités de trop à la caractéristique ; ce qui donne l'approximation à 7^, à -^ , à YnT P^®* > etc. , selon l'exactitude que l'on veut mettre à l'opération.
75. Pour second exemple , prenons la racine cubique de 3 à un dix-milUème près. J'ajoute 4 unités au tiers du logarithme de 3 , et j'ai 491^9^40 7, nombre qui répond dans les tables à 1 44 ^3 » retranchant donc 4 chiffres à droite , j'obtiens 1,44^2 pour racine cubique, à un dix-millième près.
76. Pour avoir le logarithme d'une fraction moindre que l'unité, on doit avoir le logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur, par la même raison que le logarithme de T est log a — log b ; ce qui revient à prendre néga-
. , , dénominateur
bvement le loâ'antnme de ;
° numérateur
Par exemple , le logarithme de \ serait — log -f ; or log 3 = 0,477121 3,
log 4 = 0,6020600;
prenant la différence de ces logarithmes, et retranchant le plus faible du plus fort, en donnant le signe négatif, on a donc
logT = — 0,1249393.
Pour savoir ce que signifie cette expression ,
dénominateur
log
numérateur
qu'on trouve pour logarithme d'une fraction , il faut remar-
,. j , r • numérateur quer que si , au heu de la fraction ^^ .^ , nous avions
numérateur
dénominateur
X 10 , le logarithme de ce nombre serait
dénominateur
I -4- log numérateur — log dénominate^r, ou plutôt I — { log dénominateur — log numérateur) ; ce qui revient à
I —log
dénominateur numérateur
d'où il suit qu'il faudrait retrancher le logarithme négatif trouvé ci-<lessus de Funité , pour avoir un nombre dix fois plus grand que celui auquel ce nombre appartient , nombre que l'on réduirait à sa juste valeur en relranchant un chiffra sur la droite.
46 TRIGONOM^.TBIE.
77. Mais si au Heu de retrancher mon logarithme négatif d'une unité, on le retranchait de phisieurâ, il faudrait (art. 73) retrancher autant de chiffres sur la droite du nombre qui correspond à un logarithme négatif. Par exemple, si l'on ignorait à quel nombre appartient le logarithme négatif — o , 124 93g 3 que nous venons de déterminer (art. 76) , retranchant ce logarithme de 2 unités , on trouverait i , 875 060 7 , logarithme qui, répondant à 75, m'annonce que la fraction cherchée est o , 76 ( *).
78. Pour trouver à quel nombre appartient un logarithme qui ne se trouve point dans les tables, par exemple, 6,824 8 1 5 o^ je cherche ce logarithme avec une caractéristique moindre de 3 unités , et je trouve dans les tables que les nombres 2112 et 2 1 1 3 répondent à ces logarithmes :
entre lesquels tombe mon logarithme ; ce qui m'annonce que ce logarithme est un peu plus grand que celui de 2t 12, sans atteindre à celui de 21 1 3. Il ne peut donc appartenir qu'à 2112^ plus une fraction z moindre que l'unité.
Pour déterminer z , je vois dans les tables que les logarithmes entre lesquels tombe mon logarithme diffèrent entre
(*) Voici de quelle manière je pense qu^on pourrait démcmtrer {>Ius rigonreusement et plus dans Pesprit de la théorie, que le logarithme d^une fraction est an nombre négatif.
Soit m le logarithme de j, on a donc
ff- = 1; on tire de là
mais — = a-f» {Note dé Tart. ^). Substituant cette ralear, on a
donc le logarithme de f est égal au logarithme de \ pris négatirement.
DES logahithmes. 4?
euxde2o56. Retranchant ensuite le plus faible logarithme de mofi logarithme, je trouve 1211 pour différence, et j'établis cette proportion : 2o56 est à une différence d'une unité entre les nombres 21 12 et 21 13, comme 121 1 est à la différence z qni existe entre le nombre qui correspond à mon logarithme , et 112; c'est-à-dire
d'où je tire
Par conséquent, le nombre correspondant au logarithme 3, 824815 0 est 2112,589^ Rendant ce nombre dix mille fois plus grand en supprimant la virgule , je dois (art. 75) ajouter 3 unités à la caractéristique de son logarithme^ d'où je conclus que le logarithme donné 6,824 8i5o appartient au nombre 211 2589.
79. Le même procédé peut s'appliquer aux logarithmes qui , sans une caractéristique plus grande que celles des tables, ne s'y trouvent pas compris exactement. Par exemple , si l'on demandait à quel nombre correspond 8,527 o33 4 9 ce logarithme tombant entre ceux de 3365 et 3366 , j'en retrancherais celui de 3365, ce qui me donnerait une différence de 483 ; et , comme l'exige la proportion, 'divisant cette différence parcelle qui existe entre les logarithmes de 3365 et de 3366 , qui se trouve être de 1290, j'ajoute donc au nombre 3365 la fraction -5^» ou plutôt o, 3744? <i'<>ù il suit que le nombre qui 'correspond au logarithme dontié 3 , 627 o33 4 est 33 653 744»
80. Résolvons maintenant la question inverse, en cherchant quel est le logarithme d'un nombre plus grand que ceux des tables, par exemple, celui de 1 5 707 981 : je retranche sur la droite autant de chiffres qu'il est nécessaire pour que les chiffres restant sur la gauche puissent se trouver dans les tables. Ici je sépare 3 chiffres avec une vii^le, ce qui rend ce nombre mille fois plus petit. Je trouve d'abord 4 9^9$ 098 2
pour le logarithme de i5 707 ; à l'égard de la fraction décimale 0,981, je détermine le nombre auquel elle appartient par cette proportion : si une unité de différence entre les nombres 16707 et 15708 répond à une différence de 277 pour leurs logarithmes, à quel nombre répondra 0,981, c'est-àdire que je pose la proportion
d'où je tire j?= 0,981 X 277 = 271, 787 ; ces 271 unités étant réunies aux deux dernières décimales du logarithme 4, 1 95 093 2, j'aurai 7 , 1 95 1 20 3 pour le logarithme du nombre donné 16707981. J'ai ajoute 3 unités à la caractéristique, parce que ce nombre est mille fois plus grand.
81. La raison de cette règle et de la précédente est fondée sur ce que les logarithmes des nombres plus grands que 900 croissent à peu près uniformément. C'est ce que l'on voit par leur différence , qui ne varie pas beaucoup ; il suit de là que la /w'*'"* partie d'une différence d'une unité dans deux nombres^ consécutifs doit correspondre à la /w'*'^ partie de la différence qui existe entre leurs logarithmes ; autrement les différences de logarithmes marquées dans les colonnes ne se maintiendraient pas toujours à peu près les mêmes. ~
8â. Ayant le logarithme x d'un nombre x dont là base est A , proposonsHious de trouver le logarithme z du même nombre y dans le système dont la base est B , nous avons
donc B' = A* (70)
Si 1 désigne le logarithme dans le système dont la base est A , et L le logarithme dans le système dont la base est B, nous
aurons
mais \A' = x;
donc, en vertu de Téquation ( 70) ,
et par conséquent, d'après la propriété des logarithmes
(éqnat. 67, art. 64),
X = zl B; d'où je lire
