CHAPITRE VIII

De la résolution des triangles obliquangles.

iOO. Dans tout triangle les côtés sont proportionnels aux sinus des angles qui leur sont opposés.

En effet, dans Pun des triangles ABC {fig. 28 et 29) , si du Fig» ^ sommet C d'un angle nous abaissons une perpendiculaire CD ®*^9' sur le côté AB {^g- 28) ou sur le prolongement de ce côté Ifig, 29), nous aurons (art. 85), dans l'un et dans l'autre cas,

^^ b sin A ^^ a sin B CD = , CD = r ;

comparant ces valeurs , nous obtiendrons

& sin A = a sin B , ce qui nous donne la proportion

sin A ; a : : sin B : ^ (74)

Ce que nous disons des angles A et B pouvant s'appliquer au]^ angles A et C , nous aurons encore

sin A : a : : sin C, : c; (yS)

on dre de ces deux proportions

sin B : ^ : : sin C : <7. . . . , . . (76)

6o TRIGONOMETRIE.

tôt. Cette proposition, qui est fondamentale, se démontré plus directement de cette manière par la Géométrie : Fig. 3o. Soit un triangle ABC {fig. 3o); Payant inscrit dans un cercle, on décrira du centre O avec le rayon des tables un autre cercle ahc. Les rayons Oa, Oh , Oc de ce cercle étant entre eux dans le rapport de i à i , seront proportionnels aux rayons OA, OB, OC, qui sont dans le même rapport; ce qui établira la similitude des triangles ABC et ahc : on aura donc

BC : AC : AB :: ic r ac : ah :: \hc i { ac : \ah-^

mais \hCf \ac, \ah sont les sinus des demi-arcs hl, àh^ ak, demiarcs de même nombre de degrés que 6L , AH et AK (art. 7) ; or ces arcs BL, AH et AE. , comme moitiés des arcs BC , AC et AB , sont les mesures des angles BAC,ABC, ACB, qui ont leurs sommets appuyés sur la circonférence ; donc

BC : AC : AB :: sin A : sin B : sin C.

t02. Il est à observer que le sinus d'un angle obtus étant le même que celui de son supplément (art. 98) , il ^st nécessaire que Ton sache si l'angle opposé au côté AC est obtus ou Fig. 3i . aigu ; car, dans le premier cas , cet angle sera ABC {/îg» 3 1 ) , et dans le second , il sera AB'C. Remarquons , d'ailleurs , que les trois angles d'un triangle valant ensemble deux angles droits, le sinus appartiendra à Tangle obtus B , lorsque les angles A et G réunis vaudront moins d'un angle droit; tandis que le sinus appartiendra à Tangle aigu B' lorsque la somme des angles A et C surpassera un angle droit.

t05. Une chose peut encore nous arrêter, c'est qu'un triangle n'est pas toujours possible ; car^ quel que soit l'angle formé par deux côtés donnés , il faut que le troisième côté soit moindre que les deux autres réunis , en vertu du principe, que la ligne brisée surpasse la ligne droite.

t04. Au moyen du théorème deTart. tOO, on résoudra facilement le problème renfermé dans le cas suivant :

i^'cas, — Étant donnés le côté c d'un triangle ABC (fig- 28 et. 29) et les deux angles adjacents A et B, trouver les trois autres