DE LA RÉSOLUTION DE$ TRIANGLES ORLIQUANGLES

choses de ce triangle. D'abord on aura

C=: i8o — (A.H-B), et Ton déterminera ensuite a et b par les proportions

sin G sin G

sin A sin B

105. 2® cas, — Étant donnés le côté a , Fangle A qui lui est opposé et le côté h^ trouver les autres choses du triangle ; ces conditions ne suffisent pas , car le côté a pouvant avoir une de ces positions GB ou GB^ [fig* ^i)^ il faut, comme nous Fig. Si. l'avons dit ( art. t02}, que l'on sache de plus si l'angle B est obtus ou aigu ; cela est d'autant plus nécessaire , que dans ce second cas on est censé ne connaître que Tangle A , ce qui ne nous permet pas même de recourir au moyen indiqué (art. 102) pour vérifier si B est obtus ou aigu ; quand une condition ajoutée à celle du problème nous l'aura donc appris, on déterminera d'abord l'angle B par cette proportion

a : sin A : : h : sin B ;

ensuite , au moyen de A et de B , on trouvera

Cz= i8ô~(A + B) (77)

et enfin on obtiendra c par la proportion*

sin A : a \\ sin G : c,

ce qui revient à la formule

a sin G

sin A

106. Au lieu d^employer Tangle C, on peut, au moyen d^une formule usitée par les astronomes, exprimer le second membre de cette équation en fonction des angles A et B et de leurs côtés opposés.

Pour cela, Pangle C peut être obtus ou aigu; dans le premier cas, proloogeons indéfiniment le côté BC {Jig. 32) jus^u^en D, et menons la Fig.3a. parallj^le CE à BA ; nous aurons

DCA = DCE H- ACE,

62 T&IGONOMET&IE.

et en obseryant que les angles DCE et B sont égaux comme correupondants et que les angles ACE et A le sont comme alternes internes , en mettant B et A à la place de DCE et de ACE, nous aurons

DCA = B H- A ;

mais DCA ayant le même sinus que son supplément, il en résulte que

sin C = sin ( B + A ).

Fîg.33. ^ans î« second cas, prolongeons AB jusqu'en F (^. 33), et menons BG parallèle à CA, nous aurons

Vangle extérieur CBF = GBF -H GBC,

ou , parce que GBF est égal à A comme correspondant , et que GBC est égal à C comme alterne interne,

CBF = A -t- C.

On tire, de cette dernière équation,

C = CBF — A ; et y .en prenant les sinus ,

sinC = sin (CBF -'A); (79)

la formule (126), dans laquelle on prendra les signes inférieurs, uoas

donnera

sin (CBF — A ) = sin CBF cos A — cos CBF sin A ; . . (80)

or le sinus de CBF étant le même que celui de son supplément, nous pouvons remplacer sin CBF par sin B , et la formule (80) deviendra

sin (CBF — A) = tfln B 00» A — cos B sin A = 8in(B — A) j

substituant cette valeur dans Téquation ( 79) , et renfermant les deux cas dans un seul , nous aurons

sinC == sin(Bdb A);

mettant cette valeur dans Téquation (78), on aura

sin(B=fcA)

sin A

Fig.34. *^^- ^^ ^^' "~ Étant donnés deux côtés (fig. 34) BC = a, AC=: b et l'angle compris C, déterminer les trois autres choses du triangle.

Pour parvenir à la solution de cette question , nous allons démontrer préliminairement que lorsqu'on a la somme de deux: