DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES OBLIQU ANGLES
quantités et leur différence , la plus grande est égale à la demisomme plus la demi- différence de ces quantités^ et que la plus petite est égale à la demi-somme moins leur demi-différence.
En effet, soient j? et^ ces quantités inconnues dont la différence est a et la somme b , nous avons donc par la nature du
problème ^
x-hx=^9 ^—y=b; (8i)
ajoutautces équations, on trouve
ou x=|flH-|J (82)
Retranchant ensuite les équations (Si) Tune de l'autre, on
trouve
ou y=la^{b (83)
Cela posé , les côtés étant proportionnels aux sinus des angles qui leur sont opposés (art. 100) , nous aurons
a : ^ : : sin A : sin B ;
nous tirerons de cette proportion ces deux-ci :
« -+- ^ : ^ :: sin A -f- sinB : sinB, . . . . (84)
a — ^ : 6 : : sin A — sin B : sin B ; . . . . (85)
changeant les moyens de place dans les proportions (84) et (85), les seconds rapports étant les mêmes > il y aura proportion entre les premiers ; de sorte que nous aurons
fl -1- i : sin A -f- sin B : : « — b : sin A — sin B ;
changeant les moyens de place , il viendra
a -h b : a — b :: sinA-hsinB : sinA — sinB. * .(86)
Or nous avons vu (art. 46) qu'on avait
sinA-f-sinB : sinA— sinB::tang|(A-f-B) : tang^A— B);
Fig.34. substituant le second rapport au premier dans la proportion (86), nous obtiendrons
a -h b : a — b :: tangl(A-hB) : tang ^A — B). . . (87)
ce que Ton énonce ainsi : la somme des deux côtés est à leur différence, comme la demi-somme des angles opposés à ces côtés est leur demi-différence,
La demi-somme des angles A et B est connue , puisque Tangle C étant donné y on a
A-hB 1800 — C „ ,^ = = ûo« — I C.
Par conséquent ^ la proportion (87) fera connaître la demidifférence de ces angles. Représentons par m leur somme y et par n leur différence , et supposons que A surpasse B ; nous aurons, en vertu des équations (82) et (83),
au moyen de l'un de ces angles et de son côté opposé , on déterminera facilement le côté c par la proportion suivante , qu'on déduira de la proportion (76 ) ,
sin A : sin C : : a : c (88)
i08. Si dans Téquation (84) nous changeons les moyens de plabe,
nous aurons
a -{- h : sin A + sin B :: h : sin B ;
remplaçant le rapport 6 : sin B par celui-ci, c : sin C, tiré de la proportion (76), nous aurons
a -+- h : sin A + sin B :: c : sin C;
d^où nous tirerons
(a H- b) sin C
sin A -h sinB*
On peut mettre cette équation sous une autre forme. En effet si , dans la première des formules (a8) , nous faisons 2a = C, nous obtiendrons
« . ^ asin^Ccos^C , ,
sin C = ~ i— j . . (90)
DE LA RKSOLUTION DES TRIANGLES OBLIQUANGLKS. 65
ei si dans Téquation (46) nous faisons a = A et /3=-B, elle nous donnera, en mettant le second membre à la place du premier, y
. i . p asini(A-hB)cos|(A~B). ^ ^
sm A -f- sin B = ^-^ ^ 1 ... (91)
introduisant dans Péquation ( 89 ) les valeurs de sin C et d^ sinÂ+sinB données par les équations (go) et (9c), nous trouverons
( g -h ft) sin \ C cos \ C *" ~ sini(A-hB)co8i(A-B) ' ^^^
or sinHA-l-B) = sini(i8o — C) = sin(9o — iC) = co8; C. Au moyen de cette expression , Téquatidn (ga) détiendra
— (^-^^) sinjCcos^C '^"" cos-i(A — B)co8iC '
supprimant le facteur commun , il restera
(«-+-«) sm j C '= co.i(A-B) ' '••••(93)
c*i qui nous fournit un nouveau moyen de trouver la valeur du icôté c. La différence A — B sera donnée (art. 107) par la proportion (87), de laquelle on tire
tang.i(A-B) = ^^tangi(A-+.B)j (9V;
on peut même délivrer le second terme de cette équation de la quantité A-i- B; car Téquation
donne |C = 96 — ^ (A -h B), ^
d'oùl'ontire |(A-+-B) =90 — iCf
et en prenant les tangentes ,
tangKAH-B) = tang(9o-iC) (gS)
Or il est évident que tang (90 — i C ) n'est autre chose que la tangente du complément de Tangle^ C, c'estrà-djre est la cotangente de cet angle. Remplaçant donc tang (90 —| C) par cot ^C dans Téquation (95), nous aurons
tangi(A-+-B) = cotiC;
par conséquent, Téquation (94) deviendra
tai.g4(A-B) = î^cot.;C.
Telle est la formule la plus simple qui déterminera la valeur de hi demidifférence des angles A et B.
66 TRIGONOMliTaiE.
109. ^cas, — Connaissant les trois côtés d'un triangle , déter- Fig. 34. miner les angles. Soient toujours [fig. 34 ) «5 ^> «^ les côtés opposés aux angles A, B, G, et supposons d'abord l'angle A aigu; si du sommet G nous abaissons la perpendiculaire GD, les triangles GBD, CAD nous donneront ces deux valeurs de CD' :
