CD' = BC — BD% CD» = KO — AD
éliminant GD% il viendra
BC' — BD' =r AG' — AD% d'où nous tirerons
BC = AC -h BD'— AD'; i^mplaçant BD' par (AB — AD) ' et réduisant , on obtiendra
BC' = AC -f- AB' — 2AB X AD,
ou ' û' = ^' -f- c' — 2c X AD; (96)
et comme, en prenant le rayon pour unité, on a (art. 8ô )
AD = ACcosA ou AD = 5 cos A; (97)
en substituant cette valeur dans l'équation (96 ) , nous aurons
a* =: ^' H- c' — ihc cos A (g8)
Si l'angle A est obtus, le triangle étant alors représenté par ABC Fig,35. ^fig, 35), la perpendiculaire CD' tombe sur le prolongement AD' du côté BA, et nous avons ces deux valeurs de CD",
C'D" = BC" — BD", ÇlDf^ = AC — AD".
En les égalant entre elles , et en remplaçant BD" par sa valeur AB 4- AD', on trouve , après avoir réduit ,
BC = AC" -+- AB^ -h 2 AB X AD',
ou /i' = fc' 4- C H- 2c X AD'; (99)
D& LÀ RÉSOLUtlON DES tRIANGLVS OBLIQU ANGLES. 6']
àm ce cas y au lieu 4e Téquation (97 ) , nous aurons
AD' = ^ X — cos A.
£ne(fet,lesanglesCAB, CAD' se trouvant, l'un touméàdroîte, Fîg»35. l'autre tourné à gauche p leurs cosinus sont ^(psignes contraires , par la même raison que si la droite AD est positive , la droite AB^ sera négative; ainsi nous aurons ^
AD' = -^ ^ cos A. (*)
Cette valeur étant substituée dans réquation(87), la convertit
en
à^ z= b^ -^ c^ — 2bc cos A) . . . • (100) et nous retombons dans Féquation ( 99), ce qui nous montre que cette équation convient aussi bien au cas de l'angle A ajgu que de Tangle A obtus.
ilO. Pour distinguer ces cas Tun de Tautre , on sait par la Géométrie que le premier arrive lorsque la somme des carrés des côtés qui forment Tangle surpasse le carré du troisième côté; et qu'au contraire cet angle sera obtus lorsque la somme de ces carrés sera moindre que le carré du troisième côté.
On tire de l'équation (100)
cosA= 7 (101)
lit. Cette valeur de cos A se composant de plusieurs carrés, la formule (loi) se prête peu commodément aux calculs
(*) C'est ce que Ton peut voir encore en cherchant la valeur de Tangle obtas BAC, par la formule (26) , dont ota prend le signe inférieur ; car en eoBsidérant que sin 180 étant nul , la fonnula (26) réduite à son premier terme, on a
cos BAC = cos (1800 — A) =. — I X cos A = — cos A.
68 TEIGONOMÉTILIE.
OÙ Ton emploie les logarithmes. C'est pourquoi nous allons chercher une autre formule.
Remplaçant cos Apar sa valeur tirée de l'équation 3o (art. 57), dans laquelle nous ferons r = i et a = A , nous trouverons
cos A = I — 2 sin*{. A; (^^2)
mettant la valeur de cos A donnée par Féquation (10 1), on obtiendra
I— 2 5in^iA= ^^^ (io3)
Changeant les signes et transposant l'unité dans le second membre, il viendra
2 sm * -y A = I H r ;
réduisant le second membre au même dénominateur, on trouvera
sm»iA= p^ , . . . .(io4)
et par conséquent
et , observant que la différence de deux carrés m^ — n^ est (m -{- n)(m — tî) , on aura
sin , A — ^^^ ,
tirant la racine carrée , on aura enfin
«n^ A = y^ -L^^ /. . . (io5j
Rjeprésentant le demi-périmètre du triangle par s , nous aurons
a -^ b -h c = 2JJ
